Densité de probabilité

par **Dru** » 03 Aoû 2006, 18:35

Bonjour à tous. Pourriez-vous m'aider pour la résolution de cet exercice ?

"Au cours d'une émission télé, une association caritative reçoit de nombreux dons.
Le montant du nième don en millier d'euros est une variable aléatoire Xn.
On suppose que les variables aléatoires X1,X2...,Xn sont indépendantes et suivent toutes la loi continue uniforme sur l'intervalle [0,1].

On définit la variable aléatoire Sn égale à la somme des n premiers dons et on note Fn sa fonction de répartition.

a - Determiner une densité de la variable aléatoire S2.

b - Montrer que pour tout x dans [0,1], on a Fn(x) = x^n/n!
"

Merci beaucoup pour toute aide ou indication.

par **Yipee** » 03 Aoû 2006, 20:09

As-tu vu le produit de convolution ?

par **Dru** » 03 Aoû 2006, 21:14

Merci de ta suggestion Yipee

Pour déterminer la densité de probabilité de la somme de 2 v.a indépendantes, il faut certes utiliser la convolution.
Mais dans notre cas, nous avons un peu plus d'informations : les deux v.a suivent la loi uniforme.

Est ce que la solution n'est pas un peu plus simple dans notre cas ?

par **Yipee** » 04 Aoû 2006, 08:51

Il suffit de calculer la convolée de

avec elle même.

par **Dru** » 04 Aoû 2006, 09:48

Yipee a écrit:Il suffit de calculer la convolée de avec elle même.

ok. Pour moi, ça serait ça :

avec f(x)=1 et g(x)=1

ce qui me donne p(z)=1

c'est bien comme ça ?

Merci encore

ps: une idée pour la démonstration de la question 2 ?

par **Yipee** » 04 Aoû 2006, 09:55

Non, ce n'est pas cela. D'ailleurs, ce que tu trouves ne correspond pas à l'intuition. On a plus de chances "d'obtenir 1" que "d'obtenir 0"...

En effet la densité de la loi uniforme sur [0,1] est la fonction définie sur R qui vaut 1 si

et 0 sinon.

Reessaye ton calcul avec ces fonctions.

par **Dru** » 04 Aoû 2006, 10:45

Yipee a écrit:Non, ce n'est pas cela. D'ailleurs, ce que tu trouves ne correspond pas à l'intuition. On a plus de chances "d'obtenir 1" que "d'obtenir 0"...

En effet la densité de la loi uniforme sur [0,1] est la fonction définie sur R qui vaut 1 si et 0 sinon.

Reessaye ton calcul avec ces fonctions.

J'ai dû me tromper sur l'intervalle d'integration qui serait plutot [0,2]
Mais je n'y arrive toujours pas...
ma formule du produit de convolution est juste, n'est ce pas ?

par **Yipee** » 04 Aoû 2006, 10:56

C'est juste mais l'intégrale doit être étendue à tout R.
Si tu n'y arrives pas je l'écrirai cet après-midi.

par **Dru** » 21 Aoû 2006, 10:57

Je pense avoir trouvé en fin de compte :

Si z<1 les bornes d'integration sont : 0
Si z>1 les bornes d'integration sont : z-1
Ce qui donne une fonction triangulaire sur [0,2]

est-ce exact ?

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