Densité de probabilité (Sup, Inf Xi)

[Voras]

Bonjour,

Je cale sur un exercice basé sur les densité de probabilité :

f(x) = 1/36 (9-x²) si x [-3;3], 0 sinon

J'ai trouvé une moyenne de 0, Variance de 1.8. Jusque là, ça va.

Mais ensuite, on a la question suivante :

Soit (X1, X2, ... Xn) un n-échantillon de X obtenu lors de n expériences indépendantes.
a- On pose Z = Sup Xi 1<= i <= n
a- On pose T = Inf Xi 1<= i <= n

Déterminez la densité de probabilité de Z et de T

Déterminez la fonction de répartition G de Y = X²


J'avoue que je coince pour ces questions, je ne comprends pas vraiment ce qui est demandé. Auriez-vous des conseils sur les méthodologies servant à résoudre ceci?

Merci

[L.A.]

Bonjour.

Commence par exemple par déterminer la fonction de répartition de Z et T.
(dire que Z est inférieur à x revient à dire que tous les X_i sont simultanément inférieurs à x)
La densité s'obtient ensuite par dérivation.

Pour Y=X², la fonction de répartition de Y s'exprime directement à partir de celle de X.
(X²

[Voras]

Bonjour.

Commence par exemple par déterminer la fonction de répartition de Z et T.
(dire que Z est inférieur à x revient à dire que tous les X_i sont simultanément inférieurs à x)
La densité s'obtient ensuite par dérivation.

Pour Y=X², la fonction de répartition de Y s'exprime directement à partir de celle de X.
(X²<x ssi -\sqrt x<X<\sqrt x)

Pour Y=X²
J'avais trouvé du coup f(Y) = 1/36 (9-Y). Je pensais dans [-9; 9], ce serait dans [-rac(3); +rac(3)]? La deuxième serait plus logique. En faisant l'intégrale de -9 à 9, on était très loin de 1, avec -r3 à +r3, je trouve rac(3)/2, soit 0.866. Mais on est toujours pas à 1, c'est bizarre.

La densité de Z et T serait la dérivée de la fonction? -x/36 ? J'ai vraiment du mal à utiliser les notions Min et Max ... :s

[L.A.]

Je ne sais pas comment tu as trouvé ce f(Y) autrement que par un tour de passe-passe fumeux.
Reviens simplement à la définition de la fonction de répartition (notée F, densité f)

F(y) = P[Y <= y] = P[X² <= y] = P[-\sqrt y <= X <= \sqrt y]

Ce calcul est valable pour y>=0 (si y<0, P[X²<=y]=0)
On termine le calcul en utilisant la densité de X.

Pour min et max : l'astuce permet justement de s'en débarrasser.

P[Z <= x] = P[X_1 <= x et ... et X_n <= x]

Ensuite indépendance etc...

[Voras]

Je ne sais pas comment tu as trouvé ce f(Y) autrement que par un tour de passe-passe fumeux.
Reviens simplement à la définition de la fonction de répartition (notée F, densité f)

F(y) = P[Y =0 (si y<0, P[X²<=y]=0)
On termine le calcul en utilisant la densité de X.

Pour min et max : l'astuce permet justement de s'en débarrasser.

P[Z <= x] = P[X_1 <= x et ... et X_n <= x]

Ensuite indépendance etc...

J'avais remplacé x² par y dans f(x) = 1/36 (9-x²)

Si je remplace en partant de F(X) = 1/36(9X-X^3/3)
F(Y) = 1/36 (9rac(Y) - Yrac(Y)/3)
Mais elle ne peut pas être définie de -rac3 à 0 à cause des racines

[L.A.]

J'avais remplacé x² par y dans f(x) = 1/36 (9-x²)

J'avais vu. Mais quel prodigieux théorème invoques-tu pour faire cela ?
Et tu n'as pas remplacé x par \sqrt y dans f(x) mais par y ? Pourquoi, par quel prodige ?
Il serait miraculeux que tu tombes sur le bon résultat par ce moyen.

Je poursuis

P[-\sqrt y <= X <= \sqrt y] = intégrale de f(x) de -\sqrt y à \sqrt y ...

[Voras]

J'avais vu. Mais quel prodigieux théorème invoques-tu pour faire cela ?
Et tu n'as pas remplacé x par \sqrt y dans f(x) mais par y ? Pourquoi, par quel prodige ?

huh?
J'ai bien remplacé x par \sqrt y (ou x² par y)
D'où le y=x²
f(x) = 1/36 (9-x²) f(y) = 1/36(9-y)

[L.A.]

huh?
J'ai bien remplacé x par \sqrt y (ou x² par y)
D'où le y=x²
f(x) = 1/36 (9-x²) f(y) = 1/36(9-y)

Peu importe, te dis-je, ça ne marche pas.

[Voras]

Peu importe, te dis-je, ça ne marche pas.

Okay, j'étais parti sur un changement de variable par habitude (je ne suis pas habitué aux statistiques) mais c'était une mauvaise piste. Je réessaierais quand j'aurais un peu plus de temps.
Merci

[Voras]

Okay, j'étais parti sur un changement de variable par habitude (je ne suis pas habitué aux statistiques) mais c'était une mauvaise piste. Je réessaierais quand j'aurais un peu plus de temps.
Merci

Si j'ai bien comprix,
G(Y) = Intégrale de -sqrt(y) à +sqrt(y) de f(x)

je trouve donc G(Y) = 1/36 ( 18sqrt(y) -2sqrt(y)y/3 )


Après pour
P[Z <= x] = P[X_1 <= x et ... et X_n <= x]

Ca donnerai
P[Z <= x] = P[X<= x] ^ n ?

[L.A.]

[quote="Voras"]Si j'ai bien comprix,
G(Y) = Intégrale de -sqrt(y) à +sqrt(y) de f(x)

je trouve donc G(Y) = 1/36 ( 18sqrt(y) -2sqrt(y)y/3 )


Après pour
P[Z 9)

[Voras]

Bonjour.

OK pour la dernière formule.

Attention pour G, cette expression n'est valable que pour y entre 0 et 9 (puisque f n'est pas définie par la même expression entre -3 et 3 et ailleurs) (en fait G(y) vaut 0 pour y9)

OK merci.
Effectivement, de 0 à 9, G(Y) donne bien 1.

Pour les bornes, on aurait donc :

Z(X) = F(X)^n
et T(X) = (1-F(X))^n
Ca me semble bizarre :s

[L.A.]

T(X) = (1-F(X))^n
Ca me semble bizarre :s

En effet, ceci ne peut pas être une fonction de répartition (elle doit être croissante par exemple)
Ce que tu as donné est P[T>x], ce qui n'est pas la fonction de répartition de T.