Densité de probabilité
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Pierrot73
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par Pierrot73 » 22 Nov 2015, 19:42
Bonsoir à tous,
Voici l'énoncé d'un exercice. Je suis arrivé à une réponse, mais j'aurais besoin de votre aide pour savoir si elle est juste
Énoncé :Déterminer la densité de probabilité g de Y=X², sachant que X suit la loi normale centrée réduite.
Proposition de résolution :1. Fonction de répartition F de X :
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\times \int e^{-\frac{{x^{2}}}{2}}dx)
2. Fonction de répartition de Y :
donc
 = p(0 \leq Y \leq y) = p(0 \leq X^{2} \leq y) = p(0 \leq X \leq \sqrt{y}) = F(\sqrt{y}) - F(0))
Or,
 = 0)
.
De plus, si
alors
Donc
 = F(\sqrt{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\times \int e^{-\frac{{y}}{2}}\times \frac{1}{2\times \sqrt{y}}dy)
3. Densité de probabilité g de Y :
 = G'(y) = \frac{1}{2\times \sqrt{2\pi }}\times \frac{e^{-\frac{{y}}{2}}}{\sqrt{y}})
Merci pour vos retours !
Pierre
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mrif
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par mrif » 22 Nov 2015, 20:02
Pierrot73 a écrit:Bonsoir à tous,
Voici l'énoncé d'un exercice. Je suis arrivé à une réponse, mais j'aurais besoin de votre aide pour savoir si elle est juste
Énoncé :Déterminer la densité de probabilité g de Y=X², sachant que X suit la loi normale centrée réduite.
Proposition de résolution :1. Fonction de répartition F de X :
2. Fonction de répartition de Y :
donc
Or,
.
De plus, si
alors
Donc
3. Densité de probabilité g de Y :
Merci pour vos retours !
Pierre
Je corrige un passage et tu continues:
 = p(Y \leq y) = p(X^{2} \leq y) = p(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = F(\sqrt{y}) - F(-\sqrt{y}))
.
Donc
 = G'(y) = .....)
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Pierrot73
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par Pierrot73 » 22 Nov 2015, 20:25
Merci beaucoup Mrif ! Erreur bête ... Je tombe donc sur :
 = G'(y) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi }}\times \frac{e^{-\frac{{y}}{2}}}{\sqrt{y}})
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mrif
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par mrif » 22 Nov 2015, 20:59
oui c'est ça
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mrif
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par mrif » 22 Nov 2015, 21:09
mrif a écrit:oui c'est ça
Je me corrige:
C'est ça pour y positif ou nul.
 =\frac{1}{ \sqrt{2\pi }}\times \frac{e^{-\frac{{y}}{2}}}{\sqrt{y}} \ * \ 1_{R^+})
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Pierrot73
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par Pierrot73 » 22 Nov 2015, 21:20
Oui, y est positif ou nul.
Encore merci pour ton aide !
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