Dénomination matrice de passage de B a B'

[charlesd]

Bonjour,

Je pose une question, sans doute bête, ici. S'il y a bien deux choses que je ne comprend pas dans ce bas monde ce sont mon addiction au Nutella et les changement de bases dans les espaces vectoriels. Soucieux de ne pas vous appesantir de mes problèmes personnels, je ne vais développer que le second sujet.

Je reprends mes cours sur les changements de base dans les espaces vectoriels. Pour des raisons de simplicité je me restreint aux espaces vectoriels réels de dimension finie (autan dire les espaces euclidiens). Et je n'ai d'ailleurs pas besoin de plus pour mes travaux :

Soit E un -ev de dimension , et deux bases de E. D'après Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_passage#D%C3%A9finition on appelle matrice de passage de à la matrice représentative de l'application linéaire identité de E muni de la base dans E muni de la base .

J'en suis perplexe.

Ne devrait-on pas appeler cette matrice, la matrice de passage de à ? Ou laissez-moi reformuler ma question :
Pourquoi cette matrice ne s'appelle pas la matrice de passage de à ?

Par exemple, prenez un vecteur exprimé dans la base par X' et obtenez ses coordonnées dans la base ainsi : (toujours d'après le même article Wikipédia). Ainsi, ce que je retiens de la définition actuelle c'est que la matrice de passage de à permet de transformer des vecteurs exprimés dans à des vecteurs exprimés dans . Confusion, bonjour.

Tout éclaircissement est le bienvenu! Bonne journée,

Charles.

[hdci]

est la matrice de l'application linéaire dont l'image de la base sont les vecteurs de la base (le tout exprimé dans les coordonnées de la base )

En effet, dans , le premier vecteur est

Alors ses coordonnées dans B sont

Mais si maintenant on considère que M est la matrice d'une application linéaire de E dans E, dans la base B, alors le vecteur n'est rien d'autre que le premier vecteur de la base . Et son image est , soit les coordonnées de dans la base

D'où le nom "passage de à " : c'est la matrice de l'application linéaire qui donne les coordonnées de la base , dans la base , donc qui "envoie" sur

[charlesd]

Salut hdci et merci pour ta réponse,

Ceci dit, tes explications restent confuses pour moi et aussi je ne suis pas d'accord avec toi.

M n'est pas la matrice de l'application linéaire dont l'image de la base est la base , en effet M est la matrice de l'application linéaire identité (notons là u) de E muni de la base dans E muni de la base (toujours d'après wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d ... %C3%A9aire), il vient, en notant , et :

,
car u est l'application identité

Ainsi, l'image de B n'est pas B', c'est B. De même, allons plus loin :

,
toujours le même argument, u est l'application identité, et donc :

,
il apparaît que les représentent les coordonnées de dans la base et qu'on a bien, conformément à la définition de la matrice M, que l'image des exprimés dans la base sont les exprimés dans la base . M se voit donc comme une matrice qui transforme un vecteur dont les coordonnées sont exprimées dans en le même vecteur dont les coordonnées sont exprimées cette fois dans B.

Pour cette raison, intuitivement je dirais qu'il s'agit de la matrice de passage de dans , je me demande si mon raisonnement est erroné et de là vient mon questionnement : Pourquoi appelle-t-on ça la matrice de passage de dans ... ?

[Ben314]

Salut,
Perso., j'ai jamais bien compris non plus pourquoi on l’appelait comme ça vu que quasiment tout ce qui la concerne nous dit qu'elle devrait plutôt s'appeler matrice de passage de B' à B (en particulier le truc le plus basique qui soit, à savoir qu'elle donne les coordonnées dans la base B en fonction de celles dans la base B')
Mais bon, un nom, c'est un nom et ça n'a évidement aucune influence sur les calculs qu'on fait avec : Hormis scolairement parlant où on peut textuellement demander au débutant en algèbre linéaire de "donner la matrice de passage de ? à ?", le reste du temps, tu t'en fout de savoir comment elle s'appelle, le tout étant bien sûr de savoir comment on l'utilise, en particulier lorsque l'on fait des changement de bases. Et là, ça sert évidement à rien de savoir comment elle s'appelle. Le tout c'est de savoir comment elle agit.

EDIT : Je suis allé regardé sur Wiki et ils disent bien en toute lettre que On observera que dans les deux premières descriptions données, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie, bref, que la terminologie est pourrie...

[charlesd]

Bon, c'est bien ce qu'il me semblait mais je voulais m'en persuader avec vos conseils et regards avisés. La dénomination est un faux-ami.

Pour la culture, si quelqu'un sait d'où elle vient, j'aimerai bien en savoir plus. En attendant, merci pour vos réponses.

[Pseuda]

Bonjour,

Pour moi (définition que j'ai vue partout), la matrice de passage de la base B à la base B' est la matrice des vecteurs de B' (donc en colonne) exprimés à l'aide de leurs coordonnées dans la base B. Un choix a été fait, c'est B' en fonction de B.

C'est donc la matrice de l'identité relativement aux bases B' (images identiques des vecteurs colonne) et B (base dans laquelle sont exprimés les vecteurs colonne).

Pas vu les messages précédents, je laisse.

EDIT : c'est comme les changements de repère, on a les coordonnées des éléments du nouveau repère dans l'ancien repère. Mais pour exprimer les nouvelles coordonnées d'un point (ou d'un vecteur) â l'aide des anciennes, il faut inverser.

[hdci]

Ceci dit, tes explications restent confuses pour moi et aussi je ne suis pas d'accord avec toi.

M n'est pas la matrice de l'application linéaire dont l'image de la base est la base ,

Oui, c'et exact : est la matrice de l'application telle que l'image du vecteur exprimé dans la base est le vecteur exprimé dans la base .

Mais c'est aussi la matrice de l'application telle que l'image du vecteur exprimé dans la base est le vecteur exprimé dans la base

En fait, les deux définitions sont strictement équivalentes. SAUF que : la définition que je donne fait clairement apparaître le passage, alors que l'autre est confuse : en effet, (E,B') et (E,B) peuvent être vus comme deux espaces vectoriels différents (et de fait s'ils sont de même dimension, ils sont isomorphes), et parler d'identité dans deux espaces vectoriels différents c'est un peu osé : sauf à dire "à isomorphisme près"... mais je ne suis pas sûr que cela clarifie les choses.

Pour fixer les idées, voici un exemple : dans , base , base

L'application linéaire de matrice est telle que et

envoie bien sur , coordonnées toujours exprimées dans la base

Mais si j'appelle l'espace vectoriel réel dont la base est constituée de et alors est la matrice de l'application linéaire de qui envoie sur et sur : peut-on parler d'identité ?

Mais si au lieu de dire , je dis muni de la base ... on a le même résultat mais "en plus confus"...

[Ben314]

Je sais pas du tout d'où ça provient, historiquement parlant, ce "faux amis" de la dénomination de la matrice.
Et ce qui est crétin dans la dénomination, c'est pas forcément l'ordre dans lequel on écrit le nom de la matrice avec B qui apparaît avant B', mais cet ordre et le vocable "de passage".

Je suis pas super balèze en langue donc incapable d'aller sur toutes les autres pages de Wiki., mais sur la page en Anglais, c'est évidement de la même matrice dont il est question (*), mais le seul nom qu'ils lui donne, au début, c'est new base matrix sans plus, puis, plus loin, ils parlent de transition matrix from A to B mais qui elle, est correctement nommée vu qu'elle donne les coordonnées dans la base B en fonction de celles dans la base A.

(*) et c'est normal vu que concrètement parlant, c'est quasi toujours sous la même forme qu’apparaît une nouvelle base, à savoir qu'au départ on connaît les coordonnées des vecteurs de cette nouvelle base dans l'ancienne, mais pas le contraire.

[Pseuda]

Je pense qu'historiquement, cela provient de la notion de matrice de vecteurs. La matrice de passage de B à B', c'est la matrice des vecteurs de B' exprimés dans la base B. Autrement dit, on exprime B' à l'aide de B.

Mais c'est vrai que cela donne qu'il faut inverser la matrice pour pouvoir "passer" de B à B' ()

[charlesd]

hdci a écrit :
Mais c'est aussi la matrice de l'application ... telle que l'image du vecteur ... exprimé dans la base ... est le vecteur ... exprimé dans la base ...

Oui! hdci, je comprend mieux ce que tu veux dire, c'est beaucoup plus clair. Une même matrice peut représenter plusieurs applications linéaires, selon les bases d'arrivée et de départ que l'on choisit.
Cette vision des choses me semble expliquer la dénomination : la matrice permet de transformer les vecteurs de la base en leur homologue de la base (lorsque toutes les coordonnées sont exprimées dans ).

Attention tout de même, l'identité de dans existe indépendamment des bases d'arrivée et de départ que tu choisis Lorsque tu souhaites représenter cette application par une matrice il te faut à ce moment là choisir les bases de départ et d'arrivée et tu peux très bien choisir des bases différentes.