Dénombresment - Quelques questions

[benekire2]

Bonjour,

J'ai un petit exo qui m'embête :

Soit S l'application de dans lui même qui à associe définie par :


De même T l'application de dans lui même qui à associe définie par :


Montrer que S et T sont bijectives réciproques l'une de l'autre.

Donc j'ai préféré calculer ToS ou SoT et je bloque sur le calcul :

J'aimerais montrer que
Pour l'instant j'ai :

Merci de votre aide :happy3:

[Doraki]

Normalement ton équation devrait se mettre sous la forme
pour tout (x1...xn...), pour tout 0<=k<=n, (somme de a(n,k) xk) = xn. Où a(n,k) sont des réels.
Et donc qu'il s'agit de montrer somme de a(n,k) = 0 pour k
J'aurais plutot tendance à surtout ne pas faire de calcul et commencer par décrire ce qui se passe quand la suite (xn) est de la forme xn = a^n.

Ensuite m'en servir pour montrer que le système d'équations linéaires que tu obtiens aussi moche qu'il soit bah il est vrai

[Ben314]

Sinon, je te rappelle (on l'a vu il n'y a pas longtemps) que, si tu regarde S et T comme des endomorphisme de R^d (d fini) que tu identifie à l'espace vectoriel des polynômes de degrés P(X+1) et P(X)->P(X-1) !!!
Ensuite, en utilisant astucieusement ça (cas fini), tu en déduit que ça continue à fonctionner en dimension infinie (mais ne cherche pas à voir R^N comme un espace vectoriel de polynômes ou autres, c'est un peu trop théorique pour toi).

[benekire2]

Merci Doraki et Ben :we:

Concernant ta méthode Ben , c'est vrai que j'avais même pas essayé de voir en termes d'endomorphismes , et il se trouve que ce sont bien les applications P(x) -> P(x+1) et P(x) -> P(x-1) si on les vois dans le cas fini. Maintenant il me semble que ça ne change pas grand chose au cas fini après tout ...

Sinon, est-ce que par un calcul totalement barbarre on y arrive (partant de ce que j'ai fais au début) ? Parce que je suis pas sûr que l'exercice "attendais" qu'on raisonne de cette façon ?

[Ben314]

Sinon, est-ce que par un calcul totalement barbarre on y arrive ?

Bien sûr que oui : il suffit "d'un peu de dextérité" dans le maniment des coeff. binomiaux.

[Ben314]

Si alors, et, pour tout n ,

où, pour , on a
Pour montrer que , il "suffit" donc de montrer que et que lorsque .

Ce qui se fait trés bien...

[Doraki]

post h.s., mais le truc horrible avec ces deux notations pour les coefficients binomiaux c'est que elles inversent la position de leurs arguments.
Résultat moi depuis que j'ai vu la notation (), je n'ai plus jamais su s'il fallait mettre n en haut ou en bas quelle que soit la notation.

[Ben314]

Si ça peut te rassurer, j'ai filé un petit contrôle à mes étudiants (sur les complexes) il y a deux semaines et la dernière question demandait de calculer une somme de coeff binomiaux (un sur deux avec alternance de signe) et ben... j'ai écrit tout les coeff à l'envers...

Mais bien que ce ne soit pas la notation que j'ai apprise jeune, j'essaye de m'habituer : sur les 60 étudiants que j'ai en première année seuls 2 (d'afrique du nord) utilisaient la notation avec un C, tout les autres utilisaient la notation matricielle. Je pense donc que, pour les "jeunes", c'est peut être mieux qu'ils s'habituent à la notations matricielle...

[benekire2]

post h.s., mais le truc horrible avec ces deux notations pour les coefficients binomiaux c'est que elles inversent la position de leurs arguments.
Résultat moi depuis que j'ai vu la notation (), je n'ai plus jamais su s'il fallait mettre n en haut ou en bas quelle que soit la notation.

Pour ça j'ai mon "truc" je les ai appris sous la forme () et je les écris en latex avec des C parce que c'est plus simple et quand tu écrit (n k) ( k parmis n ) tu écris C_n^k et donc au final tu n'inverse pas quand tu écris ... par contre quand tu lis c'est chiant , et "on cherche le n " pour savoir comment lire . :hein:

Ben > En effet en utilisant correctement le binôme de Newton ça doit passer , il "suffit" de savoir quoi prendre et où regarder ... :we: [cela dit je te tiens au courant si jamais je trouve pas ! ]

[Ben314]

Au cas où tu saurais pas, {n\choose k} -> n'est pas super long à taper.

[benekire2]

Au cas où tu saurais pas, {n\choose k} -> n'est pas super long à taper.

En effet, moi je faisais une matrice \Beginmatrix ... alors forcément :zen: Merci !

Par contre pour le binôme je vois pas trop quoi prendre .. :hum:

[Ben314]

Commence par simplifier :
Une somme de p à n, c'est "bof" puis regarde ce qui se simplifie ou qui ne dépend pas de k dans tes deux coeffs binomiaux...

[benekire2]

Ouais c'est ce que j'ai fais, je me retrouve avec

et on arrive a sortir un coef binomial (n k) ... et on fini .. :zen:

[benekire2]

Bonjour

Comme le titre l'indique c'est "quelques questions " .. et donc en fait j'ai une autre question, sur le dénombrement :

On cherche tout les mots de 5 lettres ( ayant un sens ou non ) vérifiants simultanément les 4 conditions suivantes :

- Tout les q sont suivis par des u
- Toute consonne est suivie d'une voyelle
- Toute voyelle est suivie d'une consonne sauf les u consécutifs d'un q qui sont suivis d'une autre voyelle que que u .
- Les deux dernières lettres ne peuvent être "qu" .

Et le problème c'est que j'ai pas trop d'idées pour arriver a avoir le nombre de mots par des "formules" .. est - ce que quelqu'un pourrait me vennir en aide ?

Merci !

PS. J'ai jamais été trop copain avec le dénombrement et les probabilités ...

[Ben314]

Perso, je le ferais "quasi à la main" :
Les mots sans "qu" sont de la forme CVCVC ou VCVCV (C=consonne, V= voyelle) il y en a donc ...
Les mots avec un et un seul "qu" sont de la forme ... ou... ou ... etc donc il y en a ...
ect...
(c'est pas si long que ça)

[benekire2]

Ok, t'as raison en fait c'est pas si long .. merci :zen:

Mais le problème c'est que si jamais c'était des mots de douze lettres la "méthode" tombe à l'eau
Du genre avec un exo sur le jeu de tarot :
On tire 6 cartes, quelle est la probabilité de tirer l'excuse et au moins 3 carreaux , on dénombre mais facilement, mais quand il s'agit de tirer 20 cartes .... :ptdr:
C'est ça qui me gène avec le dénombrement/probas surtout que je suis persuadé qu'il y a des méthodes "infailllibles" pour ce genre d'exos basiques ... :marteau:

[Ben314]

C'est ça qui me gène avec le dénombrement/probas surtout que je suis persuadé qu'il y a des méthodes "infailllibles" pour ce genre d'exos basiques ... :marteau:

Ca, je peut te garantir que non : dans des "cas concrets" comme ici où tu as des truc tout pourris du style "tout q doit être suivi d'un u", c'est trés trés vite un gros bordel.
Rien que dénombrer le nombre de surjections d'un ensemble à n éléments dans un ensemble à p(=<n) éléments, c'est déjà un peu le bordel alors que l'énoncé semble être "super archi classique" !!!

Il y a des bouquins entiers consacrés au dénombrement (par exemple les deux excellents "Analyse Combinatoire" de Louis Comtet au P.U.F.) et, comme à peu prés partout en math, il n'y a pas de "recette miracle" et il y a des tas (la majorité ?) de trucs que l'on ne sait pas faire...

[benekire2]

Ok si tu le dit :ptdr: Je pensais que sur des trucs archi classiques comme ça il y avait une petite rectee ( imbuvable peut être .. ) ,

Rien a voir, mais tu as ouvert le "débat" avec tes surjections : Trouver le nombre d'applications strictements croissantes de [|1,p|] dans [|1,n|] n>p c'est classique, mais trouver juste les croissantes , c'est déjà plus chaud ...

Et au fait , je pose la question, est-ce que quelqu'un a une prueve -carré carré- du fait que le nombre de partie à p éléments (p<n) d'un ensemble de n éléments est ? Parce que j'ai une preuve "avec les mains" i.e en français , mais pas de truc rigoureux :triste:

Voilà merci :ptdr:

[Ben314]

Déjà, perso, la question me surprend un peu du fait que, pour moi, la définition de c'est le le nombre de partie à p éléments (p<n) d'un ensemble de n éléments (c'est la propriété qu'on utilise en permanence en proba "basiques" donc ça me semble malin de la prendre comme définition)
De plus, partant de ça comme définition, on montre trés simplement (et trés "carré-carré) que qui permet 1) la construction du triangle de pascal et 2) de faire la preuve (par réccurence) de la formule du binôme de Newton.
Ensuite, pour démontrer que tu peut soit faire une réccurence en partant de , soit faire une preuve directe partant du fait (démontrable "caré-carré") qu'il y a k! bijections d'un ensemble de k éléments dans lui même.

[alavacommejetepousse]

bonsoir une preuve carrée carrée mais aussi tout en rondeur soyeuse est d'utiliser les principe des bergers via les arrangements ce qui après relecture doit être la preuve directe mentionnée par ben