Démontrer une monotonie sans dériver

[PalomaPhysique]

Bonjour à tous,
Je viens vers vous après m'être remué les méninges sans trop de succès à propos d'une question sur une fonction. La voici:

Soit une fonction , montrer que si , alors .
(J'ajoute des parenthèse pour bien spécifier que le premier terme est de la forme et non

Le but de l'exercice est de répondre à "que peut-on en déduire sur la monotonie de f ?".
Et donc la réponse est que f est strictement décroissante sur [ 2/3;+inf [, le souci c'est de le démontrer.
Je précise aussi que l'exercice suivant nous demande de dériver et de dresser le tableau de variations donc j'essaye de ne pas utiliser la dérivée. Dans le cas où je n'arrive pas à trouver de réponse, je procéderais en calculant la dérivée et je répondrais à la fois à cette question et à la question suivante mais je ne pense pas que ce soit la méthode demandée.

Voilà ce que j'ai essayé de faire:
-partir de l'inégalité et modifier chaque membre afin d'obtenir un encadrement de f(x) par rapport à f(y) mais comme ma fonction est une multiplication, au moment d'ajouter , on a un problème puisque j'obtient à droite qui n'est pas égal à f(y).
-faire avec pour montrer que . Ici le problème est que je montre que cette relation est vrai pour x et x+1 mais pas pour tout y>x. Lorsque j'essaye de faire la même opération avec , l'équation devient beaucoup plus compliquée alors je n'arrive pas au bout du raisonnement. Et même si j'arrive à montrer que , je n'ai pas fait de lien avec donc j'ai la sensation que je suis à côté de l'exercice.
-essayer de réfléchir avec les limites, en sachant que la lim de f(x) quand x tend vers 2/3=0 et que la lim de f(x) quand x tend vers +inf = -inf. Sauf que même si en apparence on a envie d'en déduire que f(x) est décroissante sur cet intervalle, rien ne nous prouve qu'elle l'est strictement.

Voilà pour les informations que je peux donner, si vous souhaitez participer à cet effort cérébral je vous en remercie d'avance !

[Mateo_13]

Bonjour Paloma,

pourrais-tu STP utiliser le bouton "tex" de la barre d'outils pour les formules, en "citant" ce message pour voir à quoi ressemble le résultat ?

Soit une fonction , montrer que si , alors .

Si alors tu peux en déduire un encadrement qui donne le sens de variation de la fonction affine entre parenthèses.

Tu multiplies ensuite tous les membres de l'encadrement par qui est de signe constant, donc tu en déduis la monotonie de ta fonction sans utiliser la dérivation.

Cordialement,

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

De manière générale : croissante positive x croissante positive = croissante positive ( et sont toutes deux croissantes positives sur ) et opposée de croissante = décroissante.

[lyceen95]

Dans ton message, tu mélanges un peu le paragraphe où tu calcules f(x+1)-f(x) et celui où tu parles de f(x+e)-f(x)

f(x+1)-f(x) : même si tu montres que ce truc est de signe constant, ça ne nous emmène nulle part.
f(x+e)-f(x) : oui, c'est une piste.

Lis bien le message de Gabuzomeu. Il est dense, mais les informations utiles sont toutes là.

[PalomaPhysique]

Bonjour Paloma,

pourrais-tu STP utiliser le bouton "tex" de la barre d'outils pour les formules, en "citant" ce message pour voir à quoi ressemble le résultat ?

Soit une fonction , montrer que si , alors .

Si alors tu peux en déduire un encadrement qui donne le sens de variation de la fonction affine entre parenthèses.

Tu multiplies ensuite tous les membres de l'encadrement par qui est de signe constant, donc tu en déduis la monotonie de ta fonction sans utiliser la dérivation.

Cordialement,

Bonjour, j'ai modifié la mise en forme comme demandé je crois, excusez moi c'est la première fois que je poste. Merci pour l'astuce !

[PalomaPhysique]

Bonjour,

De manière générale : croissante positive x croissante positive = croissante positive ( et sont toutes deux croissantes positives sur ) et opposée de croissante = décroissante.

Oui tout simplement... j'ai cherché midi à quatorze heure on dirait. Merci beaucoup !

[PalomaPhysique]

Dans ton message, tu mélanges un peu le paragraphe où tu calcules f(x+1)-f(x) et celui où tu parles de f(x+e)-f(x)

f(x+1)-f(x) : même si tu montres que ce truc est de signe constant, ça ne nous emmène nulle part.
f(x+e)-f(x) : oui, c'est une piste.

Lis bien le message de Gabuzomeu. Il est dense, mais les informations utiles sont toutes là.

Oui c'est vrai, je me suis un peu emmêlé les pinceaux. Merci pour votre aide !