Démonstration trigonométrique

[ccaaammiillee]

Bonsoir, j'ai fait un exo en classe, je ne comprends absolument pas la correction. Il s'agit de démontrer que arccos(x) + arcsin(x) = pi/2

Comment feriez vous pour parvenir à démontrer cette égalité ?

Merci de votre aide...

[WillyCagnes]

bsr

on a cos(Arccos(x))=x
et
cos(pi/2-arcsin(x))=sin(arcsin(x))=x
d'où le resultat

tu peux aussi calculer la dérivée de
f(x)=arccosx +arcsinx
tu la trouveras nulle d'ou la fonction est constante sur [-1,1]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Arc_cosinus#Relation_entre_arc_cosinus_et_arc_sinus

[mathelot]

bonjour,

la démo la plus laide est la suivante:

arccos et arcsin sont définies sur [-1,1]
Leur dérivées sont opposées



la somme des deux fonctions est constante sur l'intervalle [-1,1]
On calcule la constante en x=0

deuxième démo (élégante):



en particulier



car

[chan79]

Bonsoir, j'ai fait un exo en classe, je ne comprends absolument pas la correction. Il s'agit de démontrer que arccos(x) + arcsin(x) = pi/2

Comment feriez vous pour parvenir à démontrer cette égalité ?

Merci de votre aide...

salut
y=arccos(x)
z=arcsin(x)
cos(y)=sin(z)

[ccaaammiillee]

Super merci de votre réponse les choses me semblent bien plus claires !

[ccaaammiillee]

Re bonjour, j'ai une seconde équation à resoudre. En prenant la même méthode que donne ci dessus je ne trouve aucune réponse...
Il s'agit de démontrer que : arcos (x)+ arcos (-x)= pi

... merci d'avance pour vos réponses

[WillyCagnes]

voir ce lien
https://www.physicsforums.com/threads/prove-arccos-x-arccos-x-pi.804227/

[Lostounet]

Hello,

La méthode de dérivation est particulièrement simple dans ce cas.
f(x) = arccos(x)
g(x) = arccos(-x)

Quelle est la dérivée de la fonction g ? Celle de f?
Que dire de f'+g' ? Et donc de f + g?

Inutile d'expliciter les dérivées: f a pour dérivée f',
g a pour dérivée -f' (par le théorème de dérivation des fonctions composées) :id:

[chan79]

une possibilité
arccos(x)+arcsin(x)=pi/2
arccos(-x)+arcsin(-x)=pi/2 (en remplaçant x par -x)
on additionne ces deux égalités et comme arcsin est impaire

arccos(x)+arccos(-x)=pi

[mathelot]

Posons




car