Démonstration

[sue]

salut

comment peut-on démontre ces proprités :

1)
2) :

merci

[fahr451]

quelle définition as tu du pgcd et ppcm

as tu la décomposition d ' un nbre en produits de facteurs premiers par exemple?

[sue]

re,

je suis d'accord , c'est immédiat avec la décomposition en facteur premier du ppcm et pgcd , je cherche justement une démo, sans :hein:

en tt cas je dois partir maintenent je regarderais peut etre ça ce soir .

merci Fahr :we:

[yos]

On peut supposer a>0, b>0.

Je note d,m les PGCD, PPCM de a et b.
a=da', b=db' .

On a ua+vb=d, donc uam+vbm=dm, or le premier membre est multiple de ab, donc ab|dm.
L'entier da'b' est un multiple commun de a et de b, donc de m, donc dm|ab.

dm et ab se divisent mutuellement, donc ils sont égaux.

[sue]

ok je vois , merci Yos :we:

sinon une idée pour l'autre propriété ? j'ai montré celle du pgcd c'est immédiat , mais pour celle-là y j'arrive pas à montrer :hein:

[yos]

La deuxième est évidente non? Dire que m=ap=bq avec p et q étrangers signifie que m est un multiple commun de a et de b et qu'il est le plus petit possible.

[sue]

oui je sais que c'est évident celle du pgcd est aussi évidente mais ça se démontre quand meme non ?

[yos]

Ben c'est pratiquement la définition du PPCM. Le problème est : de quoi on part?
Mais allons-y.

Prenons comme définition du PPCM de a et b, le multiple commun >0 le plus petit.


m est un multiple de a et de b donc m=pa=qb. Si p et q ont un diviseur commun k>1, alors m=kp'a=kq'b, donc p'a=q'b et c'est un multiple commun de a et de b qui est <m. D'où la contradiction.


On suppose que m=pa=qb avec p,q étrangers. D'après Gauss, p|b et q|a. Les entiers a/q et b/p sont égaux (soit d leur valeur commune. a/d et b/d sont des entiers étrangers donc d est le PGCD de a et b. Et on a dm=ab, donc m est le PPCM.(Cette réciproque doit pouvoir s'améliorer).

[sue]

ok

merci bcp Yos :we: