Démonstration

[bitonio]

Bonjour à tous, c'est encore moi :zen:

J'ai un exercice que j'ai réussi à résoudre de facon pas très catholique... si quelqu'un avait une idée de raisonement un peu plus rigoureux (sauf si ca convient !)

On considère l'ensemble A des entiers n s'écrivant sous la forme n=abc, ou a,b,c sont des entiers naturels non nuls dont la somme vaut 2006. Justifier que A admet un maximum M (sans calculer). Déterminer M


A admet un maximum, pas de problème normalement.

Après pour trouver ce maximum, je ruse un peu:



on peut remarquer que si a=b=c, il y a égalité. Sachant que ici a+b+c = 2006 est fixé, il faut que a,b et c soit les plus proches possible

on trouve que 2006 = 668 + 669 +669

donc M=668*669*669

Quelqu'un a une meilleure idée ?

Merci d'avance

[tize]

Salut Bitonio,
J'adore ton style ! :id:
Je pense qu'il faudrait en plus montrer qu'avec 668=a,669=b,669=c l'écart entre et est < 1.
Comme cela on montre que la seul facon de faire mieux c'est de dépasser strictement ce qui est impossible comme tu l'as dit...

[BancH]

l'écart entre et est < 1.

C'est pas plutôt "compris entre un tier de a et un tier de b ou c" ?

[tize]

Heu... oui l'écart est beaucoup plus grand (669/3 - 1/27) , j'ai été trop vite, au temps pour moi...
Le style de Bitonio me plait quand même beaucoup (même si on ne peut pas vraiment dire que c'est une preuve...enfin je crois.)

[BancH]

Avec la rédaction ça donne:

Soit , et trois entiers naturels.

Si donc

On a montré que deux nombres ont interêt à être proches pour que leur produit soit le plus grand possible, et logiquement on peut reporter ce cas à nombres.



Donc

[bitonio]

Merci bien à vous deux :++:

[kaya]

et par l'absurde vous avez essayé?

[bitonio]

non kaya, je suis interessé si tu sais comment le faire par l'absurde :++: Merci d'avance