Démonstration du lemme de Gauss

[Georges10]

Bonsoir à tous
J'ai demontrer le lemme de Gauss qui dit que pout tout a, b, c de Z si a | bc et que pgcd ( a, b)=1 alors a | c
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Merci d'avance !

[Lostounet]

Salut,
Pourquoi k'c=ak implique que a divise c ?

[mathelot]

bonsoir
PGCD(a;b)=1
d'où l'identité de Bezout vérifiée par a et b:
il existe u,v de tels que
ua+vb=1
on multiplie par c
uac+vbc=c

a|(uac) et a|(vbc) donc a|c.

[Georges10]

Salut,
Pourquoi k'c=ak implique que a divise c ?

Oui je crois que j'ai fait fausse route à cet endroit,
Mais si k = 1 ça peut marcher non ?

[Georges10]

bonsoir
PGCD(a;b)=1
d'où l'identité de Bezout
il existe u,v de tels que
ua+vb=1
on multiplie par c
uac+vbc=c

a|(uac) et a|(vbc) donc a|c.

Merci pour ta réponse.
En fait c'est la même démonstration que j'ai vu partout c'est pourquoi je veux tester mon raisonnement.
Je profite pour te demander, je veux savoir est ce que les preuves qu'on donne pour les théorèmes sont à connaître par coeur ?
Merci d'avance !

[mathelot]

bonsoir
PGCD(a;b)=1
d'où l'identité de Bezout
il existe u,v de tels que
ua+vb=1
on multiplie par c
uac+vbc=c

a|(uac) et a|(vbc) donc a|c.

Merci pour ta réponse.
En fait c'est la même démonstration que j'ai vu partout c'est pourquoi je veux tester mon raisonnement.
bonne idée
Je profite pour te demander, je veux savoir est ce que les preuves qu'on donne pour les théorèmes sont à connaître par coeur ?
oui, il faut connaitre les preuves par coeur

[mehdi-128]

Bon nombre de preuves ne sont pas exigibles mais celle-là elle doit l'être étant donné qu'elle est pas compliquée.

[aviateur]

Bon nombre de preuves ne sont pas exigibles mais celle-là elle doit l'être étant donné qu'elle est pas compliquée.

Exigibles par qui?

On peut très bien ne pas connaître la démonstration d'un théorème pour s'en servir correctement. Je pense par exemple au théorème fondamental de l'algèbre, au théorème de Cauchy-Lipschitz.

Néanmoins ça pose problème: en effet c'est frustrant de se retrouver avec un théorème avec des hypothèses parfois compliquées qui sortent d'on ne sait où?
D'autre part voir la démonstration permet de mieux comprendre et retenir le théorème. Ensuite connaître le théorème donne un bagage supplémentaire qui va se loger quelque part dans le cerveau et qui augmentera sa puissance de raisonnement.

Maintenant je me méfie de ce que veut dire "apprendre par coeur" pour certains.

La démonstration d'un théorème ça ne s'apprend pas par coeur. La démonstration d'un théorème cela se comprend dans sa globalité. Alors le travail de mémoire se fera tout seul.

[mathelot]

pour se souvenir des théorèmes et de leurs démonstrations, on peut se souvenir du comment les théorèmes s'enchainent. Par exemple, le théorème des fonctions implicites utilise le théorème du point fixe d' une application contractante.

[Georges10]

Merci pour ta réponse.