Lemme de Gauss et Polynôme irréductible

[Rhaegar]

Bonjour,

Le lemme de Gauss nous affirme que si P est un polynôme à coefficients entiers factorisable dans (i.e P=AB avec A et B des polynômes à coefficients rationnels), alors il existe tel que et sont des polynômes à coefficients entiers (et donc P est factorisable dans ).

Ma question est la suivante :
Si P, A et B sont unitaires, peut-on affirmer que ?

Pour plus de précision, dans la preuve du lemme de Gauss, la constante est définie comme
où et sont des entiers telles que et sont à coefficients entiers, et où désigne le contenu d'un polynôme à coefficient entier (c'est-à-dire le pgcd de ses coefficients).

Merci d'avance pour votre aide,
Rhaegar

[Ben314]

Salut,
La réponse à la question est OUI, modulo que le du lemme n'est pas unique et que par exemple dans le cas que tu décrit (avec des polynôme unitaires), il y a évidement qui marche aussi (mais en terme de divisibilité dans , ça ne change rien).

[Rhaegar]

En fait, je n'arrive pas à le justifier. Je me dis que l'argument ne doit pas être compliqué mais je ne le vois pas.

[Ben314]

Euhhhhhh....
Si est unitaire (et à coeff. entiers), pour que soit à coeff. entiers, il faut évidement que soit entier (c'est le coeff. dominant de ).
Et, de même, pour que soit à coeff. entiers, il faut que soit entier.
Et des entiers (non nuls) dont l'inverse est aussi un entier, ben y'en a pas des tonnes . . .

[Rhaegar]

Désolé de la réponse tardive.

Bien sur que si c'est le cas.

En fait, ce que je veux montrer précisement c'est que si P = AB avec P unitaire à coefficient entiers et A, B unitaires à coefficients rationnels alors A, B à coefficients entiers.
Et dans ce cas .

[Ben314]

En fait, ce que je veux montrer précisement c'est que si P = AB avec P unitaire à coefficient entiers et A, B unitaires à coefficients rationnels alors A, B à coefficients entiers.

Si (non nuls), ils s'écrivent (de façon unique au signe prés) avec et de contenus égaux à 1.
Donc et, si on écrit avec on a qui est dans .
Sauf que le contenu de est (vu que est unitaire donc de contenu 1) et celui de est vu que le contenu d'un produit, c'est le produit des contenus.
Donc , c'est à dire et on a en fait .
De plus, vu que le coefficient dominant de , c'est à dire 1, est le produit de celui de avec celui de (qui sont des entiers), c'est que ces deux coefficients dominants sont égaux à .
Enfin, du fait que avec qui a comme coeff. dominant 1 et qui a comme coeff dominant c'est qu'on a donc .
Idem pour .

[Rhaegar]

Super, ça marche. Merci !