Démonstration d'inégalité

par **Oztyl** » 05 Sep 2015, 14:49

Je n'arrive pas à démontrer l'inégalité suivante

a/b+c + b/c+a + c/a+b > ou = 3/2

par **capitaine nuggets** » 05 Sep 2015, 14:58

Salut !

Quelles sont les contraintes sur

?

Si je prends

,

et

, j'obtiens

.

par **Oztyl** » 05 Sep 2015, 15:01

capitaine nuggets a écrit:Salut !

Quelles sont les contraintes sur ?

Si je prends , et , j'obtiens .

(a,b,c) appartient à (R+*)^3

par **capitaine nuggets** » 05 Sep 2015, 15:13

Ok, donc

sont trois réels strictement positifs.

Déjà, on peux supposer, sans perte de généralité, que

.

Commence déjà par tout mettre sous le même dénominateur mais sans développer le numérateur et de le dénominateur.

Ensuite, minore le dénominateur puis majore le dénominateur à partir de

.

:+++:

par **capitaine nuggets** » 05 Sep 2015, 15:14

En fait, pour montrer cette inégalité (pas facile), il faut savoir déjà ce que tu sais (inégalité de Cauchy, théorèmes de réarrangement, etc...).
Comme je ne sais pas ce que tu sais, je te conseille de regarder sur internet, cherche inégalité de Nesbitt :+++:

par **capitaine nuggets** » 05 Sep 2015, 15:42

J'ai l'impression que tu bloques un peu. Comme ça peut ne pas paraître évident, je te donne une idée.

1/ Le dénominateur sera

.
Cherchons à le minorer (puisque par passage à l'inverse, on changera l'inégalité). Par hypothèse

et

donc :

,

.
Ainsi

.
Déduis-en alors

.

2/ Ensuite pour le numérateur, tu as

.
Ici on majore : par hypothèse,

et

donc :

,

.
Ainsi

.

3/ Déduis-en alors

.

:we:

par **capitaine nuggets** » 05 Sep 2015, 16:05

En fait, pour montrer cette inégalité (pas facile), il faut savoir déjà ce que tu sais (inégalité de Cauchy, théorèmes de réarrangement, etc...).
Comme je ne sais pas ce que tu sais, je te conseille de regarder sur internet, cherche "inégalité de Nesbitt"

:we:

par **Robot** » 05 Sep 2015, 16:23

En fixant a+b et c, on peut voir qu'on atteint le minimum pour a=b et seulement pour a=b (un petit calcul de dérivée).
On conclut facilement.

par **chan79** » 05 Sep 2015, 18:15

salut
L'inégalité demandée ne change pas si on permute deux des lettres.
Supposons

on multiplie par a-b qui est négatif

et on arrive à:

de même, on peut montrer que

En ajoutant membre à membre ces 3 inégalités, on arrive au résultat.

par **Robot** » 05 Sep 2015, 18:36

Joli. :lol3:

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