Démonstration codimension finie - existance supplémentaire

[Decrey]

Bonjour,

Je peine à comprendre la démonstration de la proposition suivante : Soit E un K-e.v. Un s.e.v F de E est de codimension finie dans E si et seulement si F admet un supplémentaire S dans E de dimension finie. On a alors dim S = codimE (F).

La démonstration commence comme suit : Supposons E/F de dimension finie. Pour tout x de E, on note Cl(x) sa classe dans E/F. Soit (Cl(e1), ... , Cl(en) une base de E/F. Soit S = Vect (ei) pour i de 1 à n.

Les passages suivants sont ceux que je ne comprends pas :
"F inter S est réduit à 0 car si x = Somme de 1 à n des lambdai*ei est un élément de F inter S, alors Cl(x) = Cl(0) = Somme de 1 à n des lambdai*Cl(ei) et donc pour tout i, lambdai = 0" Ici je ne comprends pas pourquoi Cl(x) = Cl(0)

"F + S = E. En effet, soit x un élément de E. Il existe (lambda1, ... , lambdan) de K tels que Cl(x) = Somme de 1 à n des lambdai * Cl(ei). Si y = Somme de 1 à n des lambdai * ei, on a donc z = x - y appartient ) F (car Cl(z) = Cl(x) - Cl(y) = Cl(0) et x = z + y avec y appartenant à S." Ici, c'est encore une fois le Cl(z) = Cl(0) que je ne comprends pas.

Pourriez-vous m'éclairer ? Il semble que mon incompréhension relève de ma compréhension des Cl mais j'ai eu beau chercher, je ne trouve pas grand chose sur les relations d'équivalences au sein d'espaces vectoriels.

Merci d'avoir lu ma question et désolé pour la rédaction, je ne maitrise pas encore les outils pour inclure des symboles.

[tournesol]

par définition Cl(a)=Cl(b) ssi a-b appartient à F ssi b-a appartient à F .
z appartient à F , mais 0 appartient à F . Donc z-0 appartient à F . Donc Cl(z)=Cl(0).On a Cl(0)=F.
Cl(a)={a+f ; f appartenant à F}
Cl(0)={0+f ; f appartenant à F}

[Decrey]

Merci beaucoup tournesol pour votre réponse, je viens de comprendre !

Excellente soirée !