Codimension

[kagoune]

bonjour
j'aimerais corriger un partiel d'analyse fonctionnelle... cependant je bloque.

On a l'espace [0,1] des fonctions dérivables sur l'intervalle [0,1]. On pose la norme:
|| x || := sup max (|f(x)|,f'(x)|).
On considère que C[0,1] est muni de la norme usuelle de convergence uniforme. On définit l'application F : C[0,1] [0,1] par la formule suivante :
F(f)(x) :=
Il me faut trouver la codimension de l'image F(C[0,1]) dans [0,1] et donner un sous espace complémentaire.
je n'ai pas trés bien assimilé la notion de codimension... quelqu'un peut m'aider?

[ThSQ]

La codimension c'est justement la dimension d'un supplémentaire (après avoir montré qu'ils ont tous la même dimension ....).

Est-ce que F(C°[0;1]) c'est tout l'espace ? quelles sont les fonctions C^1 qui manquent ? Est-ce qu'il suffit de les "rajouter" (à tous les sens du terme) pour avoir l'espace complet ? l'espace trouvé est-il en somme directe avec Img(F) ?

[kagoune]

je serais tentée de dire que F(C°[0;1]) n'est pas tout l'espace C^1[0,1] et que Ker(F) est l'espace complémentaire mais tout n'est pas bien clair... :briques:

[ThSQ]

Ker(F) est l'espace complémentaire

Allons, allons, c'est dans le même espace ?

[kagoune]

oula! non... :scotch:
il faut chercher si toute fonction continue dérivable sur [0,1] est une intégrale de 0 à 1 d'une fonction continue sur [0,1].
Une fonction dérivable n'est pas forcément Riemann inégrable.. je suis sur le bon chemin?

[ThSQ]

Une fonction dérivable n'est pas forcément Riemann inégrable.

Les fonctions dérivables sont "assez souvent" C° et par la même R-intégrable !

[kagoune]

ok donc je suis complètement perdue

[kagoune]

est ce que c'est par rapport au fait que F(C[0,1]) est l'espace des fonctions intégrables à une constante prés pour être l'espace C^1[0,1]?