Demo equivalence et signe

[Rifl3]

Bonjour, dans mon cours j'ai la propriété disant que deux suites numériques équivalentes sont de même signe à partir d'un certain rang.
J'arrive à le démontrer si une suite est positive ou négative à partir d'un certain rang, ou si elle ne s'annule pas. Mais pas dans le cas général (suite alternée, ou suite changeant de signe)
Pourriez vous me donner une indication svp?

[bend]

Bonjour, dans mon cours j'ai la propriété disant que deux suites numériques équivalentes sont de même signe à partir d'un certain rang.
J'arrive à le démontrer si une suite est positive ou négative à partir d'un certain rang, ou si elle ne s'annule pas. Mais pas dans le cas général (suite alternée, ou suite changeant de signe)
Pourriez vous me donner une indication svp?

Bonsoir,

indications:

soient et deux suites equivalentes :

a : on rappele que :

b : par une définition de limite et avec un choix de , montrer que :

c - alors conclure que et sont de meme signe à partir d'un certain rang

cordialement

[Rifl3]

Bonsoir,

indications:

soient et deux suites equivalentes :

a : on rappele que :

b : par une définition de limite et avec un choix de , montrer que :

c - alors conclure que et sont de meme signe à partir d'un certain rang

cordialement

Ah oui, je n'ai pas pensé qu'a partir d'un certain rang les suites ne s'annulaient plus. Je suis vraiment bête --' lol.
Merci en tout cas.

[Rifl3]

Bonsoir,

indications:

soient et deux suites equivalentes :

a : on rappele que :

b : par une définition de limite et avec un choix de , montrer que :

c - alors conclure que et sont de meme signe à partir d'un certain rang

cordialement

Finalement une question me vient à l'esprit. Mais votre démo ne marche pas si une suite est stationnaire nulle, ou si elle s'annulait régulièrement. Dans le cas d'une suite stationnaire ça se fait bien. Mais dans le cas où une suite s'annule régulièrement comment faire???

Par exemple si on prend la suite Un={n si n est paire, 0 si n est impaire}. La suite Un est bien équivalente à elle même.

[Nightmare]

Hello,

à partir du moment où l'on a besoin de pouvoir diviser par v(n) pour n assez grand, c'est qu'on est obligé de supposer qu'elle ne s'annule pas infiniment au voisinage de +oo.

[Rifl3]

Hello,

à partir du moment où l'on a besoin de pouvoir diviser par v(n) pour n assez grand, c'est qu'on est obligé de supposer qu'elle ne s'annule pas infiniment au voisinage de +oo.

Oui, je suis d'accord. Mais justement si on prend une suite qui s'annule régulièrement comment démontrer que si cette suite équivaut à une autre alors elles ont le meme signe à partir d'un certain rang?
Car dans ce cas la on ne pourrait pas utiliser le fait que U(n)/V(n)->1 (si V(n) est la suite s'annulant régulièrement.

[Nightmare]

Tu ne peux pas, puisque comme je le dis, on ne définit l'équivalence entre deux suites que lorsque qu'elles ne s'annulent pas au voisinage du point considéré.

[Rifl3]

Tu ne peux pas, puisque comme je le dis, on ne définit l'équivalence entre deux suites que lorsque qu'elles ne s'annulent pas au voisinage du point considéré.

Ok ca marche alors ^^. Merci

[Nightmare]

Je t'en prie.

[Skullkid]

Bonsoir, en fait on peut montrer que c'est aussi le cas pour des suites qui s'annulent au voisinage de l'infini en prenant une définition de l'équivalence très légèrement différente : . La démonstration est la même que celle que tu as dû trouver, il suffit juste de rajouter le cas où v s'annule au-delà de , qui implique que u s'annule aux mêmes rangs.

[Nightmare]

Je plussois!

[Rifl3]

Bonsoir, en fait on peut montrer que c'est aussi le cas pour des suites qui s'annulent au voisinage de l'infini en prenant une définition de l'équivalence très légèrement différente : . La démonstration est la même que celle que tu as dû trouver, il suffit juste de rajouter le cas où v s'annule au-delà de , qui implique que u s'annule aux mêmes rangs.

Aaaah nickel, je me disais bien que dans le cours je n'avait pas vu que les suites ne devaient pas s'annuler au voisinage du point d'étude. Merci beaucoup

[physikcien]

Bonsoir, en fait on peut montrer que c'est aussi le cas pour des suites qui s'annulent au voisinage de l'infini en prenant une définition de l'équivalence très légèrement différente : . La démonstration est la même que celle que tu as dû trouver, il suffit juste de rajouter le cas où v s'annule au-delà de , qui implique que u s'annule aux mêmes rangs.

Bonsoir,

Voila je profite de ce topic car je n'arrive justement pas à faire cette démo en procédant avec cette définition, en fait ce sont les valeurs absolu qui me gène.

Merci de votre aide

[Judoboy]

Bonsoir,

Voila je profite de ce topic car je n'arrive justement pas à faire cette démo en procédant avec cette définition, en fait ce sont les valeurs absolu qui me gène.

Merci de votre aide

Bah en particulier à partir d'un certain rang |Un-Vn|<1/2*Un et donc Un et Vn sont de même signe.

[wserdx]

J'ai trouve sur wikipédia cette définition


qui ne pose pas de problème aux termes nuls.

[Skullkid]

J'ai trouve sur wikipédia cette définition


qui ne pose pas de problème aux termes nuls.

Ça correspond à la définition que j'ai citée, mais sous une forme moins "primitive" (en déroulant le fait que la suite epsilon tend vers 0 on fait sortir du "pour tout epsilon, ..."). D'ailleurs le n0 dans ta définition est plutôt superflu, il sert juste à intégrer le fait que les deux suites peuvent ne pas commencer au même rang.

[physikcien]

Merci de vos réponses :) ,

en fait je ne comprend pas très bien cette inégalité: |Un-Vn|<1/2*Un
car on a alors (Un) positif ce qui n'est pas assuré non ?

[Judoboy]

Merci de vos réponses ,

en fait je ne comprend pas très bien cette inégalité: |Un-Vn|<1/2*Un
car on a alors (Un) positif ce qui n'est pas assuré non ?

Pardon, j'ai oublié une valeur absolue.

|Un-Vn|<1/2*|Un|

[physikcien]

En fait j'ai écris exactement cette inégalité mais je n'arrive pas à me débarrasser de ces valeurs absolues j'obtient à la fin |Vn|/2 <=|Un|=< 3|Vn|/2 avec |Un|=€(n)*|Vn| avec €(n)->1 mais cela ne prouve pas que (Un) et (Vn) sont de même signe

[wserdx]

Je pense que tu devrais t'en sortir avec

pour éliminer les valeurs absolues, mais c'est une façon parmi d'autres.