Demande de correction et d'aide pour un sujet d'algèbre

[shar]

Bonjour, j'ai fait ce sujet d'algèbre linéaire . Je n'ai cependant pas la correction , pourriez vous vérifier mes réponses?
(Je met des images car tout retaper en Latex me prendrait une éternité, surtout que je ne suis pas familier avec)

1)a)
1)b)

2)a)
2)b)

3)

4)

5)a) et 5)b)

6)a)

Je n'ai pas réussi la question 6)b) en revanche

[pascal16]

le nom d'une telle matrice n'est pas donné, culture générale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Vandermonde

C'était quoi exactement les D^k de la question d'avant ?

[Ben314]

Salut,
Le 6)b), c'est juste un résumé des propriétés trouvées au 5)b) et au 6)a) :
- Au 5)b), tu as montré que E contient une famille libre de n+1 éléments donc il est de dimension au moins n+1.
- Au 6)a), tu as montré qu'il existe une injection de E dans un e.v. de dim n+1 (à savoir Kn[X]) donc il est de dimension au plus n+1.

C'était quoi exactement les D^k de la question d'avant ?

Vu le contexte (endomorphismes), D^k ça désigne DoDoDo...oD (composition) donc D^k, c'est simplement l'endomorphisme qui à un polynôme P associe sa dérivée k-ième (et bien sûr, D^0, c'est l'identité, c'est à dire l'endomorphisme P->P)

[shar]

Salut,
Le 6)b), c'est juste un résumé des propriétés trouvées au 5)b) et au 6)a) :
- Au 5)b), tu as montré que E contient une famille libre de n+1 éléments donc il est de dimension au moins n+1.
- Au 6)a), tu as montré qu'il existe une injection de E dans un e.v. de dim n+1 (à savoir Kn[X]) donc il est de dimension au plus n+1.

C'était quoi exactement les D^k de la question d'avant ?

Vu le contexte (endomorphismes), D^k ça désigne DoDoDo...oD (composition) donc D^k, c'est simplement l'endomorphisme qui à un polynôme P associe sa dérivée k-ième (et bien sûr, D^0, c'est l'identité, c'est à dire l'endomorphisme P->P)

Je ne comprend pas comment tu déduis que E est de dimension au plus n+1 en sachant qu'il existe une injection de E dans un ev de dim n+1.

Sinon une base de E est la famille D^k ?

[Ben314]

Je ne comprend pas comment tu déduis que E est de dimension au plus n+1 en sachant qu'il existe une injection de E dans un ev de dim n+1.

36 000 façons de le voir : soit avec le rang de la matrice associée, soit avec les images de familles libre, etc...
A mon avis, le plus trivial, c'est sans doute de dire que, si f:E->F est injective, alors alors elle est bijective de E dans im(f) donc dim(im(F))=dim(E) or im(f) est un s.e.v. de F donc de dimension inférieure où égale à celle de F.

Bref, ces histoire de injectif/surjectif pour les application linéaires et les dimensions des espaces, ça marche exactement pareil que injectif/surjectif pour les ensembles finis où il est bien évident que injectif => plus d'élément à l'arrivé qu'au départ et surjectif => plus d'élément au départ qu'à l'arrivé.

Sinon une base de E est la famille D^k ?

Ben oui : une fois que tu as montré que dim(E)=n+1, tu en déduit que les D^k c'est une famille libre de E dont le cardinal est égal à la dimension de E. Donc c'est bien une base de E.