Définition de la dérivée d'ordre n

[ludovic44]

Bonjour, j'ai un petit soucis avec la définition d'une fonction n fois dérivable.

"Une fonction f est n fois dérivable en a s'il existe un intervalle ouvert contenant a sur lequel f est n-1 fois dérivable et si est dérivable en a."

Ce que je ne comprends pas, c'est cette notion d'intervalle ouvert. Ne pourrait-on pas imaginer que a soit l'une des extrémités de l'intervalle, par exemple: f est n-1 fois dérivable sur [a;b[ avec b>a ?

J'espère avoir été à peu près clair, c'est assez confus dans ma tête...

[lyceen95]

On parle parfois de continuité à droite ou à gauche, de dérivabilité à droite ou à gauche. Ce que tu proposes est la définition de 'n fois dérivable à droite'.
Si on prend la fonction valeur absolue, et a=0, cette fonction n'est pas dérivable en a=0. A fortiori, sa dérivée n-ième n'est pas définie.
Mais elle est infiniment dérivable à droite, et aussi infiniment dérivable à gauche.

La fonction partie entière est encore mieux (ou pire) : elle n'est même pas continue en 0. Mais, si on prend un intervalle [0,b[ , elle a toutes les propriétés du monde.

[ludovic44]

Ok, merci
Mais du coup, si une fonction est définie sur disons [a;b], la dérivabilité de f à droite de a n'est-elle pas équivalente à sa dérivabilité en a tout court (puisqu'il n'y a aucun sens à faire tendre x à gauche de a) ?