Défi analytique

par **Imod** » 29 Juil 2007, 20:11

Un peu d'analyse pour changer ( divers sujets sur Cesaro m'y ont fait penser ) :

On se donne

une fonction continue de [0;1] dans [0;1] et

dans [0;1] .

est définie par son premier terme

et par la relation de récurrence :

.
Montrer que

est convergente .

Bon courage !!!

Imod

par **BQss** » 29 Juil 2007, 20:54

Salut Imod:

avec

Donc ca converge.

par **Flodelarab** » 30 Juil 2007, 10:56

En français, on pourrait dire que

est la moyenne de toutes les images des termes précédents transformés par f.

Plus on avance et plus le poids du barycentre du sous système est fort. Donc plus le résultat se rapproche de celui-ci.
Donc la fonction converge.

Je ne sais si c'est très clairement exprimé :id:

Une autre façon de voir est de dire que tout nouveau

est entre

et f(

)
D'où la convergence.

J'ai évidemment exploité la continuité de la fonction dans les 2 cas.
Par contre, je n'ai pas utilisé la contrainte "entre 0 et 1" .... J'ai dû taper à côté.

par **Imod** » 30 Juil 2007, 11:15

Flodelarab a écrit:Plus on avance et plus le poids du barycentre du sous système est fort. Donc plus le résultat se rapproche de celui-ci.
Donc la fonction converge.

C'est vrai mais à chaque étape le barycentre se déplace aussi , on a un point qui se rapproche de plus en plus d'un autre qui se déplace ?

Flodelarab a écrit:Une autre façon de voir est de dire que tout nouveau est entre et f()
D'où la convergence.

Pourquoi

est entre

et

?

Imod

par **Flodelarab** » 30 Juil 2007, 12:05

Imod a écrit:C'est vrai mais à chaque étape le barycentre se déplace aussi , on a un point qui se rapproche de plus en plus d'un autre qui se déplace ?

Il peut se déplacer.
Je ne cherche que la convergence.
(j'avoue que là, j'invoquerais le fait que la fonction soit bornée :euh: )

Imod a écrit:Pourquoi est entre et ?

Car les poids sont positifs.
Pour qu'un barycentre soit a l'extérieur, il faut un poids négatif.
Or, on ne fait qu'une moyenne arithmétique toute bête à poids positifs.

par **Flodelarab** » 30 Juil 2007, 12:08

Oui d'accord.
f(xn-1) pourrait fuire vers l'infini plus vite que prévu.
Il faut que f soit borné.

par **Imod** » 30 Juil 2007, 12:30

Je suis d'accord avec ton 2ème point :

est bien entre

et

, mais la convergence me gène . On pourrait imaginer une suite dont les valeurs seraient alternativement de plus en plus proche de 0 et de 1 , il n'y aurait alors pas de limite ( deux valeurs d'adhérences ) . C'est peut-être contradictoire avec la continuité de

mais il faudrait justifier !

Imod

par **alben** » 30 Juil 2007, 20:15

Bonjour
On montre facilement que la suite reste à l'intérieur de [0,1]. Elle a au moins une valeur d'adhérence (compacité)
On a la relation

d'où l'on tire

A partir de là, on peut y arriver par une méthode basique : valeurs d'adhérence, points fixes... mais c'est un peu lourdingue, plein de epsilon... et j'imagine qu'Imod va nous sortir un super truc

par **Imod** » 30 Juil 2007, 22:54

alben a écrit:A partir de là, on peut y arriver par une méthode basique : valeurs d'adhérence, points fixes... mais c'est un peu lourdingue, plein de epsilon... et j'imagine qu'Imod va nous sortir un super truc

Malheureusement non :cry:

j'ai une méthode , "un peu" lourde et l'analyse n'étant pas mon fort , j'attends impatiemment toute idée originale :zen:

Imod

par **Flodelarab** » 31 Juil 2007, 11:02

Je considère le "déplacement" du barycentre.
Et je calcule la distance qu'il parcourt à chaque rang.

Au maximum, il se déplace de 0,5
pkoi ?
car si

et que f(0)=1 alors le milieu sera en 0,5 (ou inversement pour 0 et 1 )

On a montré que ce déplacement tendait vers 0 :

Même si f prenait les valeurs les plus dérangeantes (0 ou 1), le barycentre se déplaçant de moins en moins, Il y a un rang a partir duquel la distance entre notre barycentre et la valeur de convergence sera forcément inférieure à une barrière (fixée a l'anvance, et aussi petite soit elle)

Donc

C'est la convergence.

Vois tu un contre exemple ?

par **Imod** » 31 Juil 2007, 11:31

Je ne suis pas sûr d'avoir saisi complètement ton argument mais tu me corrigeras au besoin : le barycentre suit un déplacement encadré par une borne qui tend vers zéro et évolue dans un intervalle borné donc converge .
On peut considérer un barycentre qui partirait de zéro vers 1 à l'allure

en changeant de direction à chaque fois qu'il dépasserait une des extrémités de [0;1] . Penses-tu que la position de ce barycentre converge ?

Imod

par **Flodelarab** » 31 Juil 2007, 11:45

Imod a écrit:On peut considérer un barycentre qui partirait de zéro vers 1 à l'allure

admettons.

Imod a écrit: en changeant de direction à chaque fois

c'est le cas qui m'interesse

Imod a écrit: qu'il dépasserait une des extrémités de [0;1]

Ben. On a dit plusieurs fois que c t impossible car f(x) est dans [0;1] et le nouveau barycentre est entre f(xn) et xn ... on ne peut pas sortir.

Imod a écrit:. Penses-tu que la position de ce barycentre converge ?Imod

Oui!
Ce qui me dérange, c'est de ne pas pouvoir dire à l'avance vers koi ....
Mais il converge, c sur.
J'ai appelé b cette valeur.

Si f(x) pouvait sortir de l'intervalle, ce serait moins clair.
Mais là, le poids croit plus vite que l'image peut s'éloigner
Or pour que l'influence de f(x) reste et fasse diverger la suite par manque de limite, il faudrait qu'elle prenne des valeurs plus éloignées que les valeurs maxi 0 ou 1 (alternées ou non, du coup)

par **Imod** » 31 Juil 2007, 11:57

Tu ne m'as pas lu attentivement :hum: la suite change de sens quand elle ne peut pas faire autrement essaie avec les premières valeurs entières et dis moi ce que tu en penses :we:

On n'oublie pas que la série harmonique est divergente !!!

Imod

par **Flodelarab** » 31 Juil 2007, 12:23

Attention : La série harmonique diverge car elle tend vers l'infini !!!
La série harmonique alternée converge !
Le fait de rebrousser chemin fait perdre au barycentre tout l'avantage qu'essaie de donner f en le faisant fuire.
C'est comme le roi qui fuit aux echecs ... ya echec et mat a un moment car l'échiquier a un bord. Si l'échiquier etait une boule, la partie devrait etre déclarée nulle car pas de bords.

(Je rumine chacun de tes mots)

par **Imod** » 31 Juil 2007, 14:51

La série dont je te parle n'est pas alternée :

;

...

Imod

par **Flodelarab** » 01 Aoû 2007, 18:40

Je suis d'accord sur la non-alternance.
Cela rend mon raisonnement moins évident.

Je creuse mais je n'ai pas plus de résultats à donner.

J'imagine que la continuité doit stopper cette fuite effrénée. Car on ne peut pas passer impunément de 0 à 1 quand on veut mais pas facile de joindre les 2 bouts.

par **alben** » 01 Aoû 2007, 19:11

Flodelarab a écrit:J'imagine que la continuité doit stopper cette fuite effrénée. Car on ne peut pas passer impunément de 0 à 1 quand on veut mais pas facile de joindre les 2 bouts.

Juste pour relancer le débat, si ta suite courre de a à b, elle est obligée de passer de l'un à l'autre de manière de plus en plus rapprochée car la différence de deux termes tend vers 0. Regarde la continuité de f(x)-x en un point entre a et b où elle ne s'annulerait pas

par **Flodelarab** » 01 Aoû 2007, 21:47

alben a écrit:Juste pour relancer le débat, si ta suite courre de a à b, elle est obligée de passer de l'un à l'autre de manière de plus en plus rapprochée car la différence de deux termes tend vers 0. Regarde la continuité de f(x)-x en un point entre a et b où elle ne s'annulerait pas

Ça, on le sait déjà.
Mais pkoi cette suite ne passerait elle pas entre les gouttes et n'arriverait pas à faire l'aller retour entre 0 et 1 de la meme façon que la suite harmonique diverge vers l'infini ?

d'ailleurs, "passer entre les gouttes" n'a pas de sens car il n'y a pas de valeurs interdites ni néfastes.

par **Imod** » 01 Aoû 2007, 22:15

Il faut jouer ici avec la notion de valeur d'adhérence . Comme la différence entre deux valeurs successives de la suite tend vers zéro , les valeurs d'adhérence forment un intervalle . Ce n'est qu'un début :mur:

Imod

par **alben** » 01 Aoû 2007, 23:00

Bonsoir,
On n'a pas besoin d'utiliser le fait que les VA forment un segment, il suffit, comme le dit Flodelarab de montrer que la continuité permet de créer une barrière entre deux VA, barrière qui devient un puits

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