Equation différentielle Existe t-il une solution analytique ?

[benc13]

Bonjour,

Après plusieurs tentative a travers des bouquins, matlab, maple et mon entourage, j'en arrive a douter de l'existence d'une solution analytique pour ma toute petite équation différentielle :

K/sin(t) * y'(t) + y(t) = sin(t)

En fait je m'intéresse à la réponse temporelle y(t) durant la première demi-période. Merci de vous intéresser à cette question.

[Benjamin]

Re,
En fait, ça me revient. Le problème de cette équation différentielle, c'est qu'elle est non linéaire. Donc pour la solution analytique, c'est du cas par cas pour savoir si elle existe. La seule chose que tu peux faire de manière certaine, c'est le champ de tangentes des solutions.

[benc13]

ok, merci c'est la première réponse depuis une semaine qui va me faire avancer.
c'est plus la peine de me creuser la tête à la résoudre.

Je n'avais jamais entendu parler du champ de tangeante, et j'imagine que ça doit être un peu long à expliquer.
Pourrais tu m'en dire juste deux mots pour un ignard en math. Je ferais des recherches ensuite mais c'est souvent expliqué avec un langage de confirmé.

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

Il s'agit bien sur d'une EDO non linéaire. Si tu veux simplement établir la réponse temporelle sur la première demi-période, il serait plus simple et beaucoup plus rapide de résoudre numériquement cette équation sur la partie du domaine qui t'intéresse. Tu sembles disposer de Matlab, donc tu as tout ce qu'il te faut...

[Benjamin]

En fait, quand tu as une équation différentielle, avec y' et y, ce qui est intéressant, c'est de trouver y(t). C'est ce qu'on veut. Mais en fait, on peut aussi résoudre en considérant que l'inconnu, c'est y'(t). Et on peut déterminer y'(t). Avec les équations différentielles linéaires, (c'est-à-dire y'(t)+b(t)*y(t)=c(t), avec b(t) une fonction linéaire), on peut obtenir y(t) et y'(t). Dans le cas où b(t) est non linéaire (le cas ici, puisque b(t)=sin(t)), on ne peut résoudre qu'en considérant que l'inconnu c'est y'(t). En fait, tu peux connaitre pour tout t, la valeur de y'(t). Or, par définition, y'(t), c'est la valeur de la pente (le coefficient directeur) de la tangente à la courbe en t. Donc, par la connaissance de y'(t), tu peux tracer les tangentes en tout point de la solution y(t). D'où le nom de champ de tangentes.
A plus,

[SimonB]

En revanche, le joli théorème de Cauchy-Lipschitz dit que, pour des équa-diffs pas trop biscornues (et en particulier celle-ci), si tu imposes une condition initiale, tu as unicité de la solution. Ca n'intéresse peut-être que les matheux dans la lune, puisque ça ne donne pas ladite solution, mais c'est quand même sympathique pour les physiciens de savoir que leur pendule (régi par y'(t)=sin(y(t)), qui n'est pas vraiment linéaire) ne va pas se mettre à faire n'importe quoi...

[Benjamin]

Re-salut,
Vraiment désolé, mais je me suis gourré il me semble, et bien comme il faut. Ici, c'est pas le problème de non linéarité, c'est juste que tes coefficients ne sont pas constant. Il existe donc bien une solution. Enfin, j'ai suffisament dit de bêtises là-dessus que je préfère ne pas dire plus, mais ce qui est sûr, c'est qu'il faut que tu fasses un RESET sur ce que j'ai dit.
Encore désolé pour l'erreur,

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

Il s'agit bien sur d'une EDO non linéaire.

:doh:

elle est linéaire.

[Benjamin]

:doh:

elle est linéaire.

Oui, c'est de ma faute, je pense que je l'ai induit en erreur. Je me suis emballé au début en disant qu'elle était non linéaire, avant mon mea culpa. Je confirme, elle est bien linéaire.

[busard_des_roseaux]

en posant t

[JJa]

Bonjour benc13,

Ton équation est soluble analytiquement, mais les solutions ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles en nombre fini. Il faut faire appel à une fonction spéciale : la fonction de Bessel modifiée.
Bien entendu, on peut aussi exprimer les solutions sous forme de séries infinies.