Décomposition de Jordan

[Pierrot73]

Bonjour le forum,

Je bloque sur le point suivant. j'ai besoin de diagonaliser la matrice :



A possède 1 et -1 comme valeurs propres. -1 est une valeur propre double.

Pas de soucis pour déterminer l'espace propre associé à la valeur propre 1 :

En ce qui concerne l'espace propre associé à la valeur propre -1, je trouve un premier vecteur
Pour le vecteur , je voulais (voir même je dois !) passer par la décomposition de Jordan, c'est-à-dire résoudre :



Et là, je coince ... faut-il fixer arbitrairement une des trois inconnues ?

Par exemple, en choisissant z = 0, j'obtiens le vecteur qui complète ma matrice de passage. Je retombe bien sur A = PDP^-1 donc cela me semble bon. J'aimerais juste une confirmation

Merci beaucoup pour votre aide !

[Ben314]

Et là, je coince ... faut-il fixer arbitrairement une des trois inconnues ?

Oui, bien sûr.
C'est exactement comme quand tu cherche un vecteur propre : tu sait d'avance que (sauf erreur de calcul sur les valeurs propres) le système a résoudre va avoir une infinité de solution et que tu prend n'importe quelle solution (autre que le vecteur nul) comme vecteur propre.
Là, c'est exactement pareil : vu que U2 est vecteur propre associè à -1, tu sais que quelque soit le scalaire k, (A+Id).(u+k.u2)=(A+Id).u donc que si un système de la forme (A+Id).u=vecteur_fixé admet une solution alors il en admet une infinité.

[Pierrot73]

Vu que U2 est vecteur propre associè à -1, tu sais que quelque soit le scalaire k, (A+Id).(u+k.u2)=(A+Id).u donc que si un système de la forme (A+Id).u=vecteur_fixé admet une solution alors il en admet une infinité.

C'est effectivement très logique. Merci Ben !
Lors de la résolution de l'exo, j'avais calculé le vecteur u3 en fixant successivement x, y et z à 0. J'ai donc obtenu 3 vecteurs différents qui se trouvent respectivement dans les plans (Oyz), (Oxz) et (Oxy). Je doutais de mon résultat car, pour une raison mystérieuse, j'étais parti sur le fait que ces 3 vecteurs devaient être orthogonaux puisque chacun se trouvait sur l'un des trois plans de E3. Mais à y réfléchir, il n'y a aucune raison pour que ces 3 vecteurs soient orthogonaux. Je me suis embrouillé tout seul ...