Décomposition de Jordan

[Vupen]

Bonsoir,

J'ai vraiment du mal avec ce chapitre...

Je dois décomposer la matrice suivante sous la forme de Jordan :

3 2 -3
4 10 -12
3 6 - 7

(je veux trouver aussi la matrice de passage car je dois ensuite résoudre un système d'équa diff à l'aide de l'exponentielle de matrices).

Je calcule le polynome caractéristique, pas de soucis. Je trouve P(X) = (X-2)^3. 2 est l'unique valeur propre de multiplicité 3.

Et après je bloque, je n'ai franchement pas compris grand chose à la méthode ... :cry:

Merci pour votre aide.

[Vupen]

Finalement, avec ce document , en utilisant le lemme des noyaux, j'arrive à déterminer J tq P(-1)*A*P = J (c'est tout bete ...).

Par contre, il me manque la méthode pour déterminer la matrice de passage ...

[Ben314]

Salut,Pour déterminer la matrice de passage, tu évalue les s.e.v. et .
Tu as forcément .
- Si tu part d'un élément de privé de puis tu prend (qui est dans ) et (qui est dans ) : ça te fait ta base.
- Si (c'est à dire ) tu part d'un élément de privé de puis tu prend (qui est dans ) et un autre élément de tel que te donne une base de .

J'espère que ce malheureux exemple où n=3 te donne une idée de la méthode générale : il faut partir des "gros" puis "redescendre" en prenant les les images des vecteurs déjà pris plus éventuellement d'autres vecteurs pour obtenir des bases de supléméntaires de dans

[Vupen]

Merci pour cet exemple, je pense avoir saisi. Quid quand on a plusieurs valeurs propres ?

[Vupen]

Je travaille avec la matrice {{{0,1,0,0},{3,0,2,-1},{4,-2,3,-1},{-2,2,0,1}}} (chaque accolade est une ligne)

J'obtiens le polynome caractéristique P(X) = (X-1)^4.

Le problème est qu'on s'arrete à (A-Id)^3 = 0. Du coup, suivant ta méthode, il me manquerait un vecteur pour la matrice de passage ...

[Vupen]

Est-ce que l'ordre des blocs a une importance ?

Car via le calcul je trouve

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=Inverse[{{1%2C0%2C0%2C-1}%2C{1%2C1%2C0%2C-1}%2C{0%2C1%2C1%2C1}%2C{2%2C0%2C1%2C0}}]*{{0%2C1%2C0%2C0}%2C{3%2C0%2C2%2C-1}%2C{4%2C-2%2C3%2C-1}%2C{-2%2C2%2C0%2C1}}*{{1%2C0%2C0%2C-1}%2C{1%2C1%2C0%2C-1}%2C{0%2C1%2C1%2C1}%2C{2%2C0%2C1%2C0}}[/url]

Or sans calcul, j'obtiens une autre matrice de Jordan mais dont les blocs ont été "inversés"

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordandecomposition[{{0%2C1%2C0%2C0}%2C{3%2C0%2C2%2C-1}%2C{4%2C-2%2C3%2C-1}%2C{-2%2C2%2C0%2C1}}][/url]

[Ben314]

- Si on a plusieurs valeur propres, la seule chose que ça change c'est que ton "plus gros F_k", c'est pas l'espace tout entier mais seulement le sous espace caractéristique (i.e. le où k est l'ordre de multiplicité de la racine \lambda du polynôme caractéristique)

- L'ordre des blocs n'a pas vraiment d'importance : il suffit de changer l'ordre de la base pour les inverser (exactement comme les valeurs propres dans le cas diagonalisable).

- Dans le cas d'une matrice de polynôme caractéristique et de polynôme minimal tu as (où ) et tu as forcément de dimension et de dimension (ça se voit en écrivant que tu as forcément un bloc 1x1 et un bloc 3x3)
Donc tu part d'un dans privé de , tu pose (qui est dans ) (qui est dans ) et, comme est de dimension 2 (et pas 1) tu prend un deuxième élément de de façon à ce que soit une base de : ça te fait tes 4 éléments de ta base.

[Vupen]

Je te remercie, c'est plus clair maintenant !

[Vupen]

On considère la matrice

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B3%2C2%2C-3%7D%2C%7B4%2C10%2C-12%7D%2C%7B3%2C6%2C-7%7D%7D

Elle admet 2 comme valeurs propres (de multiplicité 3) et (A-2Id)² = 0.

Je trouve que ker (A - 2Id) = Vect((-2,1,0), (3,0,1)) et ker (A - 2Id)² = R^3

Du coup, je prends v3 = (1,1,0) (qui n'est pas dans ker (A - 2Id)), puis v2 = (-2,1,0) et v1 = (3,0,1) une base de ker (A - 2Id).

Pourtant, la matrice que j'obtiens n'est pas J ...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=InverseMatrix%5B%7B%7B3%2C-2%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C1%7D%2C%7B1%2C0%2C0%7D%7D%5D*%7B%7B3%2C2%2C-3%7D%2C%7B4%2C10%2C-12%7D%2C%7B3%2C6%2C-7%7D%7D*%7B%7B3%2C-2%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C1%7D%2C%7B1%2C0%2C0%7D%7D

Alors que, la matrice de passage dans Wolfram est de la meme tronche : un vecteur qui n'est pas dans ker (A-2Id) puis 2 vecteurs de ker (A-2 id) qui forment une base ...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+canonical+form&a=*C.jordan+canonical+form-_*Calculator.dflt-&f2=%7B%7B3%2C2%2C-3%7D%2C%7B4%2C10%2C-12%7D%2C%7B3%2C6%2C-7%7D%7D&f=JordanDecompositionCalculator.theMatrix_%7B%7B3%2C2%2C-3%7D%2C%7B4%2C10%2C-12%7D%2C%7B3%2C6%2C-7%7D%7D

[Vupen]

Aussi, comment prévoir la position des blocs dans J par rapport aux positions des vecteurs dans la base de Jordan ?

[Vupen]

Petit up, j'aimerai comprendre ce qui ne va pas :triste: :mur:

[Ben314]

Une fois que tu as pris ton vecteur v3 qui est dans F2 privé de F1, il faut absolument que tu prenne le vecteur (A-2Id).v3 pour un des deux vecteurs de ta base de F1 (et n'importe quoi pour le deuxième vecteur)
donc si tu prend v3=(1,1,0), tu doit absolument prendre (A-2Id).v3=(3,12,9) parmi les deux vecteurs de ta base de F1.


Wolfram a, quand à lui, pris v3=(0,0,1) et donc il a pris (A-2Id).v3=(-3,-12,-9) comme vecteur de la base de F1 (plus un deuxième quelconque de façon à compléter la base de F1)

Aprés, ben ta matrice de jordan elle va se déduire immédiatement : si tu prend v3 au pif dans F3 privé de F2 puis v2=(A-2Id).v3 et enfin v1 au pif de façon à ce que {v1,v2} soit une base de F1 alors :
- Par contruction (de v2) tu as v2=A.v3-2.v2 donc A.v3=v2+2.v3 => la 3 em colonne de la matrice J est (0,1,2)
- Comme v2 et v1 sont dans F1, on a A.v2=2.v2 (donc (0,2,0) dans la 2em colonne de J) et A.v1=2.v1 (donc (2,0,0) dans la 2em colonne de J)

[Vupen]

Encore une fois, merci, tout est limpide à présent !