Bonsoir, à propos le chapitre les polynômes ; Fraction rationnelle.
F(x)=x+2/(x²+1)(x²+x+1)
Quelqu'un pourrait-il la décomposer en éléments simples ?
Décomposer en éléments simples cette fraction [SVP]
7 messages
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Re: Décomposer en éléments simples cette fraction [SVP]
par GaBuZoMeu » 05 Jan 2021, 20:58
Bonsoir,
Sur
ou sur 
?
Sur
Re: Décomposer en éléments simples cette fraction [SVP]
par Black Jack » 06 Jan 2021, 09:14
Bonjour,
F(x)=x+2/(x²+1)(x²+x+1)
S'agit-il de :
 = x + \frac{2}{x^2+1} * (x^2+x+1))
ou bien = \frac{x+2}{x^2+1} * (x^2+x+1))
ou bien = \frac{x+2}{(x^2+1)(x^2+x+1)})
ou bien quoi d'autre ?
Si on respecte les priorités des opérations mathématiques, c'est la 1ère version ... mais je parierais que ce n'est pas celle-là que tu as pensé écrire.
F(x)=x+2/(x²+1)(x²+x+1)
S'agit-il de :
ou bien
ou bien
ou bien quoi d'autre ?
Si on respecte les priorités des opérations mathématiques, c'est la 1ère version ... mais je parierais que ce n'est pas celle-là que tu as pensé écrire.
Re: Décomposer en éléments simples cette fraction [SVP]
par mathelot » 06 Jan 2021, 12:30
bonjour,
les racines de
sont 
et 
où 
.
On vérifie que
(x-j^2))
et
(x+i))
soit x réel; a,b,c,d complexes.
on pose:
(x^2+x+1)}=\dfrac{a}{x-i}+\dfrac{b}{x+i}+\dfrac{c}{x-j}+\dfrac{d}{x-j^2})
(*)
en passant aux conjugués:
(x^2+x+1)}=\dfrac{\bar{a}}{x+i}+\dfrac{\bar{b}}{x-i}+\dfrac{\bar{c}}{x-j^2}+\dfrac{\bar{d}}{x-j})
La décomposition en éléments simples étant unique, il vient:
et 
pour calculer a, on multiplie les deux membres de l'égalité (*) par (x-i):
(x^2+x+1)}=a+(x-i)\left(\dfrac{b}{x+i}+\dfrac{c}{x-j}+\dfrac{d}{x-j^2}\right))
puis on remplace x par i:
i}=a)
)
puis
)
pour calculer c, on multiplie les deux membres de (*) par x-j:
(x-j^2)}=(\dfrac{a}{x-i}+\dfrac{b}{x+i}+\dfrac{d}{x-j^2})(x-j)+c)
on remplace x par j:
(j-j^2)}=c)
(j-j^2)}=\dfrac{j+2}{-j^2+1}=\dfrac{j+2}{2+j}=1)
donc d=1.
(x^2+x+1)}=- \dfrac{1}{2}(2+i) \dfrac{1}{x-i}- \dfrac{1}{2}(2-i)\dfrac{1}{x+i}+\dfrac{1}{x-j}+\dfrac{1}{x-j^2})
en réduisant au même dénominateur, après calculs, pour tout x réel:
(x^2+x+1)}=\dfrac{-2x+1}{x^2+1}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1})
les racines de
On vérifie que
et
soit x réel; a,b,c,d complexes.
on pose:
en passant aux conjugués:
La décomposition en éléments simples étant unique, il vient:
pour calculer a, on multiplie les deux membres de l'égalité (*) par (x-i):
puis on remplace x par i:
puis
pour calculer c, on multiplie les deux membres de (*) par x-j:
on remplace x par j:
donc d=1.
en réduisant au même dénominateur, après calculs, pour tout x réel:
Modifié en dernier par mathelot le 06 Jan 2021, 14:11, modifié 5 fois.
Re: Décomposer en éléments simples cette fraction [SVP]
par GaBuZoMeu » 06 Jan 2021, 13:49
C'est peut-être la décomposition sur qui est demandée.. Dans ce cas, passer par la décomposition sur est un détour inutile. Mais le questionneur semble se désintéresser de sa question.
Re: Décomposer en éléments simples cette fraction [SVP]
par vam » 06 Jan 2021, 16:00
Ou attendre que ça lui tombe tout cuit dans le bec...
Pour mettre une image, vous pouvez aller sur https://postimages.org/fr/
Vous choisirez ce qu'ils appellent le lien direct (lien de la seconde ligne), que vous placerez entre les balises Img.
Vous choisirez ce qu'ils appellent le lien direct (lien de la seconde ligne), que vous placerez entre les balises Img.
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