Croissance comparée

[manu18ck]

A t on pour tout a,b>0 (n!)^a << (n^n)^b
si oui comment peut on le montrer
g deja réussi pour a=b
merci

[nuage]

Salut,
voir la formule de Stirling ici par exemple.
On peut constater que ce n'est pas toujours vrai.

[edit]
Enfin je me relis et j'ai un doute sur ma dernière affirmation.

[yos]

Bonsoir.
Je pense aussi que c'est pas toujours vrai. Par exemple avec a=2b c'est pas bon en vertu de l'inégalité (facile) .

[serge75]

Une piste : est équivalent à et est équivalent à sauf erreur de ma part dans le calcul des équivalents.
De là on pose et on regarde la limite de . Si elle est 1 alors w_n tend vers l'infini, ce qui te fournit les relations de négligeabilité voulues.
Serge

[serge75]

Pas de signe de vie ? L'auteur de cette requête a-t-il jugé inutile de lire les réponses qui lui ont été fournies ou est-il avare de remerciements ?

[yos]

Il faut bien reconnaître que ça se termine souvent de cette façon. C'est dommage mais on se console avec le fait qu'on a eu un exercice intéressant.
A ce propos on peut le finir :
Si , alors .
Si , alors .
Cela se fait avec Stirling, ou mieux avec la méthode proposée par Serge 75.

[serge75]

Je trouve toujours regrettable ce manque de courtoisie et je me demande si dans certains cas l'auteur du post prend seulement la peine de lire les réponse. Cette attitude consumériste me désole, mais tu as raison yos, ça nous a permis de faire un bel exo.