Courbe Brachistochrone, équations

[jdoussain]

Bonjour,

Je suis en MPSI et j'ai choisi comme sujet de TIPE "La courbe Brachistochrone".

Cependant, je suis bloqué sur la résolution d'une équation différentielle :



où x, y sont respectivements les absisses et les ordonnées de ma courbe et D une constante. On peut également suppose y 0

Pouvez m'expliquer comme résoudre cette équation (même à partir d'un logiciel type Maple...) ?

Merci !

[bitonio]

Salut,
sous Maple:

dsolve(diff(y(x),x)^2=-(D+y(x))/y(x),y(x)); Fais ?dsolve si tu veux voir comment mettre des conditions initiales

Bonne chance

[jdoussain]

J'ai donc fait :

dsolve({diff(y(x),x)^2=-(h+y(x))/y(x),y(0)=0},y(x));

ce qui m'a donné deux fonctions solutions y :

y1 : x -> 5*cos(RootOf(-5*_Z+x+5*(sin(_Z)^2)^(1/2)))-5

et

y2 : x -> 5*cos(RootOf(-5*_Z+x+5*(sin(_Z)^2)^(1/2)))-5

Le problème c'est qu'aucune des deux ne convient Enfin ça ne ressemble pas à l'inverse d'une cycloîde (ce que je dois trouver...)

Je suis presque certain de mon expression de départ.
Par contre, je ne sais pas trop à quoi sert RootOf de Maple (représente les racines d'un polynome avec des sinus ???)

Par ailleurs, j'étais parti différent pour résoudre l'équation en faisant comme en physique ie tout ce qui dépend de x d'un coté, tout ce qui dépend de y de l'autre, et j'intègre ! Est ce possible ? (J'obtiens de bien moins bons résultats, ou alors je les interprète mals...).

[Pythales]

Commence par poser pour simplifier, soit
puis soit et
ce qui donne

[jdoussain]

On ne devrait pas plutot obtenir :

?

soit



puis

avec

et j'obtiens la meme dérivée



J'ai du me tromper là...

?

Je ne retrouve pas non plus votre dernière expression avec vos notations... :hum:

[tchaikovsky]

1 + y'2 = -r/y

Posons y' = tanq (paramétrisation). La condition sur q sera posée in fine. On a :

*

d'une part : 1 + y'2 = 1 + tan2q = 1/cos2q, donc y = -r x cos2q = -½r x (1 + cos2q)
*

d'autre part y' = tanq mais aussi y' = dy/dx = dy/dq x dq/dx = 2r x sinqcosq x dq/dx

On en déduit dx = 2r x cos2qdq. Cachant cos2q = 2cos2q - 1, on a facilement par intégration x = r x (q + ½sin2q) + C (constante d'intégration).

x = r x (q + ½sin2q) + C , y = -½r x (1 + cos2q)

Mais il nous faut maintenant préciser les conditions initiales. Afin que notre point M "dévale" l'arc au plus vite, il s'agit que la pente au départ soit maximale : nous choisissons alors qo = -p/2 car dans ce cas y' = dy/dx sera infinie négative (tangente verticale au départ). On a bien alors y = 0 et pour avoir aussi x = 0, il nous faut C = ½rp : x = ½r x (2q + sin2q) + p.

On peut maintenant poser R =½r et u = 2q :

R x (u + p + sin u) , y = -R x (1 + cos u) , uo = -p