Coupures sur les rationnels

[Claudiopana]

[Doraki]

Oui la preuve est forcément fausse puisqu'elle n'utilise pas le fait que r est rationnel.
J'vois pas le rapport entre r²+c²/16+r²c/2 et 2-7/16.
D'ailleurs si on prend r entre sqrt(2-7/16) et sqrt(2), alors r' > r et r'² > r² > 2-7/16, ce qui contredit ce qu'il affirme.

[Claudiopana]

Bonjour,

Oui, bien sûr, c'est 2-(7/16) c^2 que j'aurais dû écrire à la place de 2-7/16. L'outil formel a endommagé le fond. Désolé. (Et l'original est maintenant modifié).

Merci.

[Doraki]

Ah ben il utilise le fait (qu'il a admis dès le début en fait, quand il définit les classes A et B) que sqrt(2) est irrationnel, et donc que r²<2 et donc que c>0.

En résumé la coupure n'est pas produit par un rationnel parceque si r est dans A alors on obtient un r' dans A aussi, tel que r < r' : A n'a pas de maximum.

Si on suppose que r est un réel ben le passage montre que si r < sqrt2, alors il existe r' tel que r < r' < sqrt2, mais de toutes façons ça ne veut rien dire à propos de la coupure puisqu'une coupure parle seulement de rationnels.

[Claudiopana]

Bonjour,

Votre réponse est probante. Je vais essayer de reformuler pour mieux m'en convaincre.
Si r est un rationnel, r^2=2 n'a pas de sens (on le sait par ailleurs, la démonstration est simple).
On suppose pourtant qu'il y a un rationnel r qui répond à la question. r^2=2-c s'inscrit dans cette recherche.
Le reste ne présente pas de difficultés.

Si r est un réel, r^2=2 garde évidemment tout son sens. Et c'est l'écriture r^2=2-c qui n'en a plus.

(Les coupures sur les réels sont pourtant sensées. C'est ce que fait Dedekind pour prouver qu'il n'y a pas d'autres nombres au-delà d'eux :
"Une coupure sur les réels ne conduit qu'aux réels eux-mêmes, déjà obtenus par coupures sur les rationnels"
Ce qui confirme, l'inconvenance de la transposition de r rationnel à r réel pour l'étude en question. Pour chercher quoi?..

Merci.

C.P.

[Doraki]

Et c'est l'écriture r^2=2-c qui n'en a plus.

que veux-tu dire par là ?

Je sais pas exactement comment ton livre définit les coupures, mais pour quel la preuve marche il faut que la coupure produite par un rationnel r soit la coupure A = {r' rationnel / r' r}, ce qui est différent de la définition donnée par wikipedia.

Quand on dit à propos de la coupure définie par la paire A = {r' rationnel / r' 0 et r'² > 2}, que "elle n'est pas produite par un rationnel", ça veut dire "il n'existe pas de rationnel r tel que A = {r' / r' r}".

Soit r un rationnel. On souhaite montrer que (A,B) n'est pas la coupure produite par r.
Si r est dans B, alors (A,B) ne peut pas être la coupure produite par r puisque ça voudrait dire que r est dans A et pas dans B.
Si r est dans A, alors on doit montrer que {r' / r' 2} n'est pas une coupure, puisque le réel sqrt(2) n'est ni dans A ni dans B.
Pour corriger ça il faut définir A = {r réel / r 0), r' = r est toujours dans A mais on a plus l'inégalité r < r'.

[Claudiopana]

Bonjour,

"Et c'est l'écriture r^2=2-c qui n'en a plus."
Je veux seulement préciser que si r est réel, r^2=2 est la solution. Pourquoi en chercher une autre?

Merci.

C.P.