Correction de l'xercice de h(x)

[Anonyme]

soit h une fonction de R dans R strictement positive tel que :
h(1) = 1 et h(x)h(y) = h(x+y) .
trouver la limite quand x tends vers +l'infinie de h(x) .

[Anonyme]

Salut,


C'est sûr, c'est bon là ?

En posant f(x) = ln(h(x)) (on sait que h > 0) on a f(x+y) = f(x) + f(y) et f(1)=0, i.e. l'équation de Cauchy.

Par récurrage on a f(n) = 0 pour tout n entier et donc si f (et donc h) admet une limite elle ne peut être que 0 (et donc 1).

Le pb c'est que sans autre hypothèse (continue, bornée, ....) - et accessoirement en admettant l'Axiome de Choix et l'existenxce de base de Hamel - et il a des solutions à l'équation de Cauchy très mal élevées (pas continues, pas localement bornées, pas mesurables, ....).

cf http://mathworld.wolfram.com/CauchyFunctionalEquation.html