Convexité

[bidoune]

Montrer, en utilisant la convexité, que quelque soit x appartenant à [o,pi/2], 2x/pi < sinx < x


Montrer, en utlisant la concavité de ln, que pour tout x1,x2,x3,...,xn appartenant à R+*, (x1 X x2 X x3 X ... X xn)^(1/n) < (x1+x2+x3+...+xn)/n

Puis en deduire que pour tout n appartenant a N*,
n! < [(n+1)/2]^n


Merci a tout ceux qui voudront bien m'aider! :we:

[Maxmau]

Montrer, en utilisant la convexité, que quelque soit x appartenant à [o,pi/2], 2x/pi < sinx < x


Montrer, en utlisant la concavité de ln, que pour tout x1,x2,x3,...,xn appartenant à R+*, (x1 X x2 X x3 X ... X xn)^(1/n) < (x1+x2+x3+...+xn)/n

Puis en deduire que pour tout n appartenant a N*,
n! < [(n+1)/2]^n


Merci a tout ceux qui voudront bien m'aider! :we:

Bj

Sinus est concave sur [0,;)/2] (dérivée seconde < 0)
Donc en dessous de n’importe laquelle de ses tangentes ( en particulier….)
Et au dessus de la corde joignant (0,0,) à (;)/2 , 1)

[bidoune]

Oui Sin est concave sur [0,pi/2] mais je ne vois pas comment me servir des tangentes et de la corde.

J'avais penser dire que -Sin est convexe sur [0,pi/2] puis utiliser la convexité des fonctions derivables en disant que f'(x0) < Tx0 f(x1) < f'(x1) (avec Tx0 f(x1) la fonction taux d'accroissement en x1) et en utilisant f(x)=-sin(x)
Mais je trouve quelque chose de très bizarre... j'ai surement fait une erreur:
-x+pi/2 < cos(x) < -xsin(x)+(pi/2)sin(x)

[Maxmau]

Oui Sin est concave sur [0,pi/2] mais je ne vois pas comment me servir des tangentes et de la corde.

J'avais penser dire que -Sin est convexe sur [0,pi/2] puis utiliser la convexité des fonctions derivables en disant que f'(x0) < Tx0 f(x1) < f'(x1) (avec Tx0 f(x1) la fonction taux d'accroissement en x1) et en utilisant f(x)=-sin(x)
Mais je trouve quelque chose de très bizarre... j'ai surement fait une erreur:
-x+pi/2 < cos(x) < -xsin(x)+(pi/2)sin(x)

La tangente en (o,o) à y =sinx est y=x
D’où (vu la concavité sur [0, /2]) : sinx <= x sur [0, /2]

La corde joignant (0,0) à (;)/2 , 1) est y = 2x/;)
D’où (vu la concavité) : 2x/;) <= sinx
je ne fais qu'appliquer des résultats classiques sur les fonctions convexes (ou concaves)

[bidoune]

Merci beaucoup pour ton aide Maxmau. Je venais tout juste de comprendre quand tu as posté ton message.

Par contre pour ma 2e question je pense utiliser la formule
f'(x0) < Tx0 f(x1) < f'(x1) car je pense qu'il fait utiliser la dérivée de ln pour trouver le resultat attendu.

[bidoune]

J'ai finalement réussi a trouver la reponse a la 2e question!

[bidoune]

J'ai toujours un problème pour répondre a ma dernière question :

Puis en deduire que pour tout n appartenant a N*,
n! < [(n+1)/2]^n

Sachant :
Pour tout x1,x2,x3,...,xn appartenant à R+*, (x1 X x2 X x3 X ... X xn)^(1/n) < (x1+x2+x3+...+xn)/n

[Maxmau]

J'ai toujours un problème pour répondre a ma dernière question :

Puis en deduire que pour tout n appartenant a N*,
n! < [(n+1)/2]^n

Sachant :
Pour tout x1,x2,x3,...,xn appartenant à R+*, (x1 X x2 X x3 X ... X xn)^(1/n) < (x1+x2+x3+...+xn)/n

tu connais la formule sommatoire donnant:
1+2+3+.........+n

[bidoune]

1+2+3+...+n= (n+n²)/2

[Maxmau]

1+2+3+...+n= (n+n²)/2

alors je ne vois plus ce qui t'arrête

[bidoune]

Ah oui! J'ai compris! Merci beaucoup pour ton aide! :we: