Convexité

[lightone]

Bonjour, je dois faire un exercice sur la convexité d'une fonction. Hors je n'ai jamais fait ce type d'exercice donc je ne comprend pas trop... Je demande donc votre aide et aussi votre compréhension. Voici l'énoncé :

Soit E l'espace vectoriel constitué par toutes les fonctions f: R -> R.
Montrer que l'ensemble de toutes les fonctions croissantes f: R -> R est une partie convexe de E.

Je vous remercie pour votre future aide.

[zygomatique]

salut

soit f et g deux fonctions convexes .... soit t dans [0, 1]

que peut-on dire de la fonction h = tf + (1 - t)g ?

[Ben314]

Salut,
Dans un espace vectoriel (et plus généralement dans un espace affine), une partie C est dite convexe lorsque, quelque soient les éléments f0 et f1 de C, tout le "segment" [f0,f1] est lui même contenu dans C.
Le "segment" [f0,f1] est, quand à lui, l'ensemble des éléments de la forme (1-t).f0+t.f1 où t est un réel de [0,1] (dans un espace affine, on écrirais plutôt f0+t.vecteur{f0f1}, mais c'est évidement la même chose)

Donc, ici, c'est O.K. ou pas ?

EDIT :
@zygomatique : les fonctions elles même, on ne les prend pas convexe, mais croissantes.

[lightone]

Oui Ben 314, jusque là je te suis

[Ben314]

Là, je t'ai juste rapellé les définition.

La suite, c'est (évidement !!!) a toi de l'écrire.

[zygomatique]

salut

soit f et g deux fonctions croissantes .... soit t dans [0, 1]

que peut-on dire de la fonction h = tf + (1 - t)g ?

bien sur ...

[lightone]

Zigomatique, on peut dire que h est croissante et elle décrit le segment f(x), g(x) ou x appartient à [ 0, 1], c'est ça?

[zygomatique]

Zigomatique, on peut dire que h est croissante et elle décrit le segment f(x), g(x) ou x appartient à [ 0, 1], c'est ça?

ben il serait bien de le prouver correctement ....

[lightone]

Et dans ce cas, est ce que une fonction convexe est automatiquement croissante?

[lightone]

Enfin plutot l'inverse, est ce que une fonction croissante est automatiquement convexe?

[zygomatique]

on en te parle pas de fonction convexe mais de fonction croissante ...

et on te demande de montrer que l'ensemble des fonctions croissantes est convexe ....

[lightone]

Ba comme f appartient à [0, 1] donc ft est croissante et pour (1-t)g, -t>-1 donc 1-t > 0 donc (1-t)g croissante et comme l

[lightone]

et comme la somme de fonction croissantes est croissante donc h est croissante. Mais avec ça comment conclure?

[zygomatique]

ben h est croissante et appartient à l'ensemble donc par définition l'ensemble est convexe ....

[lightone]

D'accord merci pour votre aide!