Convexité

[zork]

Bonjour,

Soit A dans un ouvert muni de la mesure de Lebesgue et f:A-->R une fonction mesurable non nulle presque partout.
Montrer que définie par est convexe lorsque g admet des valeurs finies


Personnellement je connais deux définition de la convexité:
la dérivée seconde et l'inégalité suivante:


Mais aucune de ces définitions ne fonctionne ici du coup comment fait-on?


merci

[Sylviel]

L'inégalité marche très bien pourtant...

[zork]

dans ce cas j'ai pas compris l'inégalité. Pour moi on aurait (un truc stupide je pense):
et ca c'est pas possible

[Sylviel]

Hum j'ai lu vite effectivement... Je pensais que g était fonction de f et non de p.

C'est bien ce que vaut g(tx + (1-t) y) avec ta définition. Par contre je ne vois pas comment le montrer :hum:

[zork]

franchement là je ne vois pas
j'ai essayé d'élever g((1-t)x+ty) à la puissance (1-t)x+ty
puis j'ai majoré par l'inégalité de Holder: du coup x,y doivent être entier et >=1 et 1/x+1/y=1


mais ca me donne rien

[Doraki]

Commence par prendre une fonction la plus simple possible

Par exemple prend f(x) = 1 sur [0;1] et 2 sur ]1;2], et vois si tu peux montrer que sa norme p est convexe en p.

Ensuite, vois si c'est facile de généraliser un peu en remplaçant 2 par autre chose et/ou ]1;2] par autre chose

puis ensuite prend f = une fonction étagée quelconque

Et là ça devrait être fini par un argument de densité.
(il est aussi possible que les preuves que tu trouves pour ces cas simples s'adaptent directement pour le cas général)

[zork]

Mais le problème c'est que le p de g c'est le p de L^p qui doit être entier
Pour le g que tu donnes x n'est pas entier

Ou j'ai mal compris?

[Doraki]

Oui j'ai confondu f et g.

Sinon dans ton énoncé j'ai pas l'impression que p doit être entier puisqu'on te définit g sur [1;+l'infini[

[zork]

je pense que cet énoncé est faux

[mr_pyer]

Bonjour.
Oui il est faux :
Posons , alors .
La fonction n'est clairement pas convexe (tracé sur calculatrice)...

[zork]

effectivement ce contre exemple marche