Convexité

[jeje56]

Bon, je me décide à poster, un problème qui m'a fait bader toute la journée... Lol.

Il s'agit de montrer : f convexe sur I => f admet des dérivées à gauche et à droite en tout point de l'intérieur de I et pour tout a de cet intérieur :

On utilise l'inégalité des pentes qui dit : pour tout xa, par : et donc, comme plus haut, converge vers f'd(a)...

Mais pourtant est toujours croissante non ? Et donc on ne peut pas utiliser le théorème de la limite monotone...

Où est mon problème ?

Merci bcp !

[Doraki]

Bon, je me décide à poster, un problème qui m'a fait bader toute la journée... Lol.

Il s'agit de montrer : f convexe sur I => f admet des dérivées à gauche et à droite en tout point de l'intérieur de I et pour tout a de cet intérieur : f'd(a)=f'g(a)

Je croyais que la fonction f : x->|x| était convexe, et que f'g(0) = -1 < 1 = f'd(0).

[jeje56]

Autant pour moi :

[Ben314]

Mais pourtant est toujours croissante non ? Et donc on ne peut pas utiliser le théorème de la limite monotone...
Où est mon problème ?

Ben, perso, je vois pas trop où tu as pu t'embrouller les pinceaux pour avoir un problème...

Comme la fonction est croissante, pour montrer qu'une limite à gauche existe, ben faut montrer que c'est majoré et, pour montrer qu'une limite à droite existe, ben faut montrer que c'est minoré.
Il me semble que rien qu'en regardant ce que c'est qu'une fonction croissante on voit bien que c'est de ça dont on a besoin...

[jeje56]

Ce qui m'a perturbé c'est qu'on dit "d'arpès le théorème de la limite monotone..." mais c'est pas vraiment le cas pr la deuxième partie... Le TH dit qu'une fonction décroissante minorée converge...

Ici on utilise que la fonction est croissante sur ]y,x[ et minorée quand x est plus grand que a en fait...

J'avoue que c'est intuitif mais je n'en ai pas parlé dans ma leçon sur la limite en un point... Lol.

[Ben314]

De toute façon, ça prend 1/2 ligne de montrer que c'est pareil :
Si on a à calculer
la limite à gauche en xo de la fonction croissante x->f(x),
ben c'est pareil que de calculer
la limite à droite en -xo de la fonction décroissante x->f(-x),
c'est aussi pareil que de calculer
la limite à gauche en xo de la fonction décroissante x->-f(x),
ou que de calculer
la limite à droite en -xo de la fonction croissante x->-f(-x).

Y'a plus qu'à voir que :
Majorer x->f(x) Majorer x->f(-x) Minorer x->-f(x)
Minorer x->-f(-x)

Donc ç'est pas obligatoire d'écrire 4 théorèmes là ou il n'y a qu'une seule propriété et 4 "points de vue" sur la propriété...

[jeje56]

Oui, c'est vrai ;-) Merci