Convergence suite fonctions

[Marcet003]

Bonjour,

Soit la suite de fonctions définie par :



Elle converge ponctuellement vers la fonction :



Comme f est discontinue en 1, la convergence de vers n'est pas uniforme sur [0;1].
En revanche l'est-elle sur [0;1) ? C'est la ma question.

Comme est décroissante sur [0;1), il suffit de regarder si oui ou non la limite suivante tend vers 0.



Mais je ne sais pas comment calculer la limite puisque c'est une indetermination...
J'espère avoir été clair...
Pourriez-vous m'aider ?

[Ben314]

Salut,
Il n'y a pas la moindre indétermination dans la limite de ta dernière expression vu que pour tout .
Sauf que la borne supérieure de sur ce n'est pas mais vu que, sur , on a qui est croissante .

[Marcet003]

Mais pourquoi ?
x est strictement inférieur à 1 lorsqu'on regarde le sup et donc on ne peut pas prendre
non ? Le sup porte bien sur la distance dans les valeurs absolues ?

[Ben314]

Bis et répétita : pour tout fixé, la fonction est croissante (et positive) sur donc sa borne supérieure (non atteinte) c'est sa limite lorsque tend vers 1.
Et comme elle est continue sur [0,1] et en particulier en , ben sa limite lorsque tend vers 1, c'est simplement sa valeur en 1.
En bref, sa borne supérieure sur [0,1[, c'est la même que sur [0,1] et c'est évidement vrai pour n'importe quelle fonction continue sur [0,1]. La seule différence, c'est que, sur [0,1] la borne supérieure est atteinte (donc c'est un maximum) alors qu'elle n'est pas atteinte sur [0,1[ (et il n'y a pas de maximum).

[Marcet003]

Merci pour la réponse. C'est plus clair maintenant.