Convergence simple fonction par morceaux
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 20 Juil 2017, 02:50
Bonsoir,
J'arrive pas à comprendre comment étudier la convergence simple et uniforme pour les fonctions par morceaux, je suis perdu.
Exemple : soit fn définie et continue sur [0,1] par :
=n^2 x)
sur [0,1/n]
=-n^2 (x-\frac{2}{n}))
sur [1/n,2/n]
=0)
sur [2/n,1]
Etudier la convergence simple et uniforme. Calculer l'intégrale entre 0 et 1 de fn(x).
J'ai tracé la fonction ça fait un espèce de triangle.
Merci
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jlb
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par jlb » 20 Juil 2017, 07:18
Salut, considère un réel x dans l'intervalle ]0;1]. Peux-tu trouver un entier no tel que l'intervalle ]2/no;1] contienne x? Que ce passe-t-il pour les entiers supérieurs à no? Tu as ainsi ta réponse pour la convergence simple après avoir précisé f_n(0).
Pour la convergence uniforme, bah, tu as donné la réponse sans le savoir en parlant de la hauteur du triangle !! Relis ta leçon sur la convergence uniforme et détermine la borne supérieure des fonctions fn sur [0;1].
Pour la dernière question, tu as également donné la réponse si tu sais calculer l'aire d'un triangle.
Cela confirmera tes premières réponses: impossibilité d'échanger l'intégrale et la limite pour calculer l'intégrale de f ( limite des fn)sur [0;1].
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 20 Juil 2017, 12:55
jlb a écrit:Salut, considère un réel x dans l'intervalle ]0;1]. Peux-tu trouver un entier no tel que l'intervalle ]2/no;1] contienne x? Que ce passe-t-il pour les entiers supérieurs à no? Tu as ainsi ta réponse pour la convergence simple après avoir précisé f_n(0).
Pour la convergence uniforme, bah, tu as donné la réponse sans le savoir en parlant de la hauteur du triangle !! Relis ta leçon sur la convergence uniforme et détermine la borne supérieure des fonctions fn sur [0;1].
Pour la dernière question, tu as également donné la réponse si tu sais calculer l'aire d'un triangle.
Cela confirmera tes premières réponses: impossibilité d'échanger l'intégrale et la limite pour calculer l'intégrale de f ( limite des fn)sur [0;1].
Alors,
=0)
donc lim(fn(0))=0
Pourquoi vous prenez l'intervalle ]2/no;1] ouvert en 2/n0 ? On peut fermer non ?
Sinon j'ai fait un dessin ci dessous avec un n0 > n :
Soit x0 dans ]0,1],
 = 0)
donc il existe un n0 tel que :
soit
et dans ce cas
=0)
Si
alors
On a montré :
il existe
tel que pour tout
on a :
=0)
Enfin :
 = 0=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(0))
On a ainsi montré la convergence simple de la suite de fonction (fn)
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 20 Juil 2017, 13:09
Pour la convergence uniforme faut étudier :
|} = \underset{x \in [0,1]}{Max |f_n(x)|} = n)
Le sup est égal au Max car on voit que la borne Sup est atteinte...
Graphiquement je trouve n, mais je sais pas comment le démontrer rigoureusement. Comme dois je procéder ?
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