Dérivabilité d'une fonction définie par morceaux

[schelde]

Bonjour,

Dans un poly de cours, on introduit la fonction suivante :




Puis il est écrit : "on vérifie que f est de classe sur .
Alors, pour voir si j'étais encore capable de faire ce genre de choses, j'ai voulu le vérifier.

- Pour la continuité, c'est immédiat (calcul de limites en +/-1).

- Pour montrer qu'elle est :
f est dérivable sur d'une part et sur d'autre part.
On a

Un calcul de taux d'accroissement en +/-1 montre que f est dérivable en +/-1 (les limites à gauche et à droite coïncident) et que .
Enfin, on vérifie que est bien continue (notamment en +/-1).

- Maintenant, à ce stade, j'imagine qu'il faut faire une récurrence sur l'ordre de dérivation pour obtenir une formule générale donnant la dérivée n-ème et ainsi montrer que si f est pour n fixé, alors, elle est . Sauf que... déjà au rang 2, on obtient des calculs horribles. Alors s'il faut en plus "intuiter" une formule générale pour le rang n....

D'où ma question : y aurait-il un autre moyen plus astucieux de montrer ce résultat (sans se taper tous les calculs...) ?

Merci d'avance !

[pascal16]

Montrer que sur ]-1;1[, f⁽ⁿ⁾ est de la forme (P(t)/Q(t)) * exp( 1/ (1-t²)) où P et Q sont de polynômes est peut être suffisant

[Ben314]

Salut,
Concernant le polynôme , c'est pas bien compliqué d'être un peu plus précis. Il est immédiat que :

Par contre, concernant , bien que tu ait une relation de récurrence simple le concernant, vu à quoi il va servir pour la suite, ça n'a pas le moindre intérêt d'essayer d'en trouver une expression ne dépendant que de .

[schelde]

Ok, merci.
C'est vrai que je n'avais pas pensé au coup du pour éviter tous les calculs.
Par contre le polynôme du dénominateur, il me semble essentiel de l'écrire sous la forme comme le suggère Ben314 (autrement, rien ne prouve qu'il ne s'annule pas sur l'intervalle ).

[pascal16]

il faut en effet montrer que les indéterminées sont pour t=1 et t=-1.
préciser le dénominateur permet de tout faire en une fois