Pas d'idées? Pour vous mettre sur la piste, voici comme j'ai procédé pour la 1. :
On fait une sorte de transformation d'Abel, on établit (facilement) le résultat :
u_{m+p}=\Bigsum_{n=m+1}^{m+p} u_{n}-\Bigsum_{n=m+1}^{m+p} (n-m)(u_{n}-u_{n+1})+mu_{m+p})
On a donc la majoration :
u_{m+p}\le \|\Bigsum_{n=m+1}^{m+p} u_{n}\|+mu_{m+p})
La convergence de la série des (un) permet de majorer pour m assez grand le premier terme par un
et on obtient donc la majoration :
u_{m+p}\le \frac{\epsilon}{2}+mu_{m+p})
On ne peut pas conclure directement en passant à la limite, par contre, on remarque que quand p tend vers +oo,
tend vers 0 et donc la plus grande valeur d'adhérence de nu(n) est inférieur à
donc nulle. nu(n) converge bien vers 0 !
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En fait, on pas vraiment besoin de faire cette transformation pour le 1, mais elle est utile pour le 2.
Une démo plus rapide pour le 1. est la suivante : pour n assez grand et n'importe quel p, (p+1)u(n+p) est majoré par
quelque soit epsilon puisque ce terme est inférieur à la somme des u(n+k) pour k inférieur à p et ceci est majoré par epsilon à partir d'un certain rang par convergence de la série de u(n). Mais (p+1)/(n+p) tend vers 1, la plus grande valeur d'adhérence de n.u(n) est majorée par epsilon, donc nulle. :happy3:
une suite réelle décroissante et telle que la série
soit convergente.
converge vers 0.
une suite de 1 et de -1 telle que
soit convergente. Montrer que
converge vers 0
