Convergence en mesure

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Cryptocatron-11
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Convergence en mesure

par Cryptocatron-11 » 27 Oct 2012, 15:20

Bonjour,

On considère la mesure de Lebesgue sur l'intervalle [0,1].

Soit pour , 0 ailleurs

où n est un en entier tel que :

et

converge en mesure vers 0. En effet, :

quand

Dans le livre, il est rajouté " Cependant il n'y a convergence en aucun point de l'intervalle [0,1]. "

Est ce qu'il parle seulement de la convergence uniforme (auquel cas je comprendrai) ? Car il y a ici convergence simple sur [0,1] , non ?



Arkhnor
Membre Relatif
Messages: 343
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par Arkhnor » 27 Oct 2012, 16:01

Bonjour,

Est ce qu'il parle seulement de la convergence uniforme (auquel cas je comprendrai) ? Car il y a ici convergence simple sur [0,1] , non ?

Non. Pourquoi ? Que vaut par exemple ?

Essaye de visualiser le graphe de et comment il évolue quand va à l'infini.

Cryptocatron-11
Membre Rationnel
Messages: 604
Enregistré le: 18 Déc 2010, 22:19

par Cryptocatron-11 » 27 Oct 2012, 17:21

Pour les premiers termes on aura :

pour , 0 ailleurs
pour , 0 ailleurs
pour , 0 ailleurs
pour , 0 ailleurs
pour , 0 ailleurs
pour , 0 ailleurs

et ainsi de suite... Et on voit que lorsque k va tendre vers l'infini, ben vaudra 1 sur un intervalle infiniment petit.

Quant à la valeur :
Quand n tend vers l'infini, ça ne converge pas car ça fait un coup 1 et un coup 0

Arkhnor
Membre Relatif
Messages: 343
Enregistré le: 05 Déc 2008, 22:02

par Arkhnor » 27 Oct 2012, 18:03

Donc ça ne converge pas simplement vers 0. (le même raisonnement vaut d'ailleurs pour f_n(x), et pas seulement pour f_n(0), ce qui entraine que l'on a pas non plus la convergence presque sure)

 

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