Continuité uniforme.

[sarmate]

Bonjour.

Quelqu'un aurait-il des applications assez originales de l'utilisation de la continuité uniforme ?

[kazeriahm]

toute fonction uniformèment continue est continue hihi c'est assez original ?

non sinon j'ai entendu parler du théorème d'Ascoli je crois que ca s'énonce a peu prés like this :

si (f_n) est une suite de fonction uniformément continue sur A et que (f_n) converge simplement sur A, alors on peut extraire une sous suite uniformèment convergente... je crois

[sarmate]

Je te remercie de ta réponse.

Tu ne connaitrais pas les hypothèses sur A ?

En fait le seul théorème d'Ascoli que je connaisse est :

Soit A une partie de C(X,E), X compact et E métrique. Alors A est relativement compacte ssi A est équicontinue et bornée.



Je regarde si ton théorème est un cas particulier de celui-ci...

[kazeriahm]

je comprends meme pas les notions emplyées dans ton théorème... dommage

[quinto]

je comprends meme pas les notions emplyées dans ton théorème... dommage

La définition de l'équicontinuité (parfois appelée uniforme uniforme continuité) est la même que celle de l'uniforme continuité, à la différence près que ton delta/eta est valable non plus pour le seul f, mais pour tout f de ta famille de fonction.
En particulier donc, une famille équicontinue est une famille de fonctions uniformément continues.

A relativement compact dans E signifie tout simplement que la fermeture de A est compacte dans E.

a+

[kazeriahm]

ok merci quinto

ah ouai donc ton théorème d'ascolie sarmate c'est déjà de la bonne grosse tranche d'analyse non ?

[quinto]

ok merci quinto

ah ouai donc ton théorème d'ascolie sarmate c'est déjà de la bonne grosse tranche d'analyse non ?

Quand même, mais je suis étonné que tu n'aies pas vu ça en spé, ni les termes qui s'y rapportent.
Cela étant, c'est le genre de théorème très utile, mais plus en analyse complexe et en analyse fonctionnelle, donc ce n'est pas si étonnant que ça que vous n'en ayez pas fait mention dans votre cours.

a+

[kazeriahm]

je pense qu'on le voit en mp* :we:

[Alpha]

Ben la continuité uniforme intervient aussi dans la preuve du faux Dini.

[SimonB]

Pas dans toutes les MP*, en tous cas...

[quinto]

Ben la continuité uniforme intervient aussi dans la preuve du faux Dini.

Qu'est ce ?

C'est sur que la question de départ est vague.
C'est un peu comme si on demandait où est-ce que l'on pourrait trouver des applications de la continuité.

[sarmate]

Qu'est ce ?

C'est sur que la question de départ est vague.
C'est un peu comme si on demandait où est-ce que l'on pourrait trouver des applications de la continuité.

Je cherche quelques appilcations (théorèmes, exercices) de la continuité uniforme, pour justifier de son utilité, de son importance...

J'ai quelques exemples déjà, mais c assez classique : par exemple la preuve du th. de Weirstrass sur la densité des polynômes dans les fonctions continues d'un intervalle réel sur R (que ce soit par les polynômes de Bernstein ou par la convolution), le th. de Fejer aussi dans le même ordre d'idée.

Mais j'aurais aimé en avoir un peu plus. Il y a parfois des résultats originaux à obtenir... C'est cela qui m'intéressait.

[quinto]

C'est une propriété qui est très utile surtout dans la démonstration des théorèmes. Tu sais qu'avec une fonction uniformément continue, tu peux choisir tes x et y un peu comme tu veux, alors qu'avec seulement la continuité, tu as une dépendance entre tes variables.

Je n'ai pas vraiment d'exemple concret, parce que c'est un peu trop vague et que la continuité uniforme est présente partout.
En revanche, il y'a un théorème qui me parrait essentiel et qui n'a pas été cité, qui dit que toute fonction continue sur un compact est uniformément continue, c'est le théorème de Heine.

Une fonction est uniformément continue si et seulement si son module de continuité tend vers 0 en 0. Ainsi par le théorème de Heine, on a l'équivalence entre module de continuité qui tend vers 0 en 0 et la continuité par exemple, etc.

[sarmate]

Il est vrai que le théorème de Heine est très souvent utilisé pour montrer la continuité uniforme. C'est celui-ci qui est employé dans le th. de Weirstrass par exemple.

J'ai pas tout cité, mais il y a des résultats intéressants comme :

Soit f:R+->R uniformément continue. Alors il existe a et b tel que pour tout x positifs |f(x)|=
C'ést ce genre de résultats "intéressants" que je recherche... mais je vais un peu poursuivre dans mon coin.
Je te remercie pour tes réponses.

[Alpha]

Le faux Dini dit que si on a une fonction f:[a,b]->R continue, et une suite de fonctions continues (fn) convergent simplement vers f, si chaque fn est croissante, alors la convergence est uniforme.

[kazeriahm]

et c'est vrai aussi si on suppose la suite (f_n) croissante ie si pour tout x, k>= n => f_k(x)>=f_n(x) je crois

[fahr451]

Le faux Dini dit que si on a une fonction f:[a,b]->R continue, et une suite de fonctions continues (fn) convergent simplement vers f, si chaque fn est croissante, alors la convergence est uniforme.

il aurait donc été rétrogradé du statut de deuxième théorème de dini à celui de faux théorème

sic transit gloria mundi

[fahr451]

Le faux Dini dit que si on a une fonction f:[a,b]->R continue, et une suite de fonctions continues (fn) convergent simplement vers f, si chaque fn est croissante, alors la convergence est uniforme.

il aurait donc été rétrogradé du statut de deuxième théorème de dini à celui de faux théorème

sic transit gloria mundi (puisque le latin est de rigueur sur ce forum)

[Alpha]

faux théorème
i

Ben non, c'est un vrai théorème, mais un faux Dini :ptdr:. Bah ça vient pas de moi, j'ai lu ça dans un bouquin écrit par des gens qui savent de quoi ils parlent...