Continuité uniforme !

[sandrine_guillerme]

Re bonjour ,

J'ai une question sur le cours et non pas une question de cours ..
f:R->R et soit f une fonction de I dans R. Supposons que et deux intervalle et que union = I .. je veux montrer que f est uniformèment continue sur chacun des , f est elle nécéssairement uniformèment continue sur I ?

Ici j'ai pensé au théorème de Heine .. mais vu qu'il y a 7 types d'intervalles j'ai du mal a croire qu'on peut l'appliquer ce joli théorème .. Sniff

et que se passe t il si on a la réunion de plusieurs intervalles ? a t on nécéssairement l'uniforme continuité si c'est pas le cas merci de me donner un contre exemple .. : )

Merci pour votre aide.

[tize]

Salut Sandrine,
J'aimerai bien t'aider mais je dois avouer que je n'ai rien compris à ton message... peux-tu être plus claire stp...

[sandrine_guillerme]

Bien sur !!
soit f:R->R et soit f une fonction de I dans R. et I_1 et I_2 deux intervalles
l'union de I_1 et de I_2 vaut I .. montrer que si f est uniformément continue sur I_1 et sur I_2 alors f est uniformèment cotinue sur I ..
suis je clair ?

[sandrine_guillerme]

et que se passe t il dans le cas ou on a réunion d'une famille finis d'intervalle ouverts ? s'il n'ya pas de continuité uniforme merci de me doner u contre exemple .. parceque moi je le considère comme naturel

[tize]

Petite question : A-t-on ?

[sandrine_guillerme]

c'est pas précisé ..

Ne doit on pas séparer les deux cas José ?
Merci

[tize]

OK
On va commencer par deux intervalles de la forme : (]ou[ pas d'importance) et (]ou[ pas d'importance) et
f est U.C. sur , il existe donc tq tq et et
En posant , si alors on a toujours ou et en plus et donc

[sandrine_guillerme]

Daccord merci bien !
donc On peut recoller à condition que ce soit un nombre fini d'intervalles, et que les intersections soit d'intérieurs non vides. c'est ça ?

[tize]

Un nombre fini oui c'est sur mais intersection non vide je pense que l'on peut s'en passer...
En effet si on a et alors avec tes conditions (f continue sur ) on peut creer un troisième petit intervalle [a-1;a+1] sur lequel f est U.C. puisque l'intervalle est compact et on utilise la méthode que j'ai decrite plus tôt mais avec trois intervalles...
Mais attention il faut vraiment que f soit supposée continue sur tout entier...

[sandrine_guillerme]

je sais pas pourquoi le prof m'as dis que ce n'est pas toujours valables ..
si f est continue uniformément sur I_1 ,I_2 , I_3 ... etc donc f est continue uniformèment sur I= I_1 U I_2 U I_3 ... I_n .. ????

Aide moi stp ?

[tize]

Il faut faire très attention comme je te l'ai dit : si f est supposée continue sur tout alors f U.C. sur implique f U.C. sur (union finie)
MAIS !
si on sait juste que f est U.C. sur , sans savoir que f est continue (simplement) sur , alors on ne peut rien dire comme ton prof te l'a dit...
Contre exemple :
f(x)= 0 si et 1 si x>0
alors f est U.C. sur et aussi U.C. sur et
mais il est clair que f n'est pas U.C. sur puisqu'elle n'est même pas continue sur
Tu as compris ?

[sandrine_guillerme]

Oui !! j'ai bien compris merci beaucoup .. je viens d'etre initiée à cette notion de continuité uniforme c'est pour ça que j'ai du mal au début .. merci beaucoup pour ton aide précieuse ..