[L1] Continuité uniforme et limites

[benekire2]

Bonjour, j'ai un petit problème avec une question,


1.Montrer que si [a,b] est inclus dans f([a,b]) ou si f([a,b]) est inclus dans [a,b] alors f a un point fixe.

2. Soit * une loi de groupe sur [a,b] continue au sens où l'application y--> x*y est continue sur [a,b] pour tout x de [a,b]. Montrer que a=b.


Pour la première pas de problème. C'est pour la deuxième question, on doit montrer utiliser le résultat précédent, mais bon, je ne vois pas trop comment m'en sortir sur ce genre d'exo ... Si quelqu'un peut me dire comment faire (ou commencer), merci !!

PS. Enfin, déjà f([a,b]) est inclus dans [a,b] donc il existe c tel que x*c=c et ça me donne x=1_G mais voilà tout

[girdav]

Je dois sans doute louper un truc mais si on a pour quelconque que est continue et que si on prend alors est l'élément neutre, ne peut-on pas conclure que est réduit à un singleton?

[benekire2]

Je dois sans doute louper un truc mais si on a pour quelconque que est continue et que si on prend alors est l'élément neutre, ne peut-on pas conclure que est réduit à un singleton?

:dingue2:

Il se pourrait que tu ai raison :zen:

Je devrais supprimer ce topic ...

[girdav]

:dingue2:

Il se pourrait que tu ai raison :zen:

Je devrais supprimer ce topic ...

Bah non, au moins pour le référencement.

[Nightmare]

Bonjour, j'ai un petit problème avec une question,


1.Montrer que si [a,b] est inclus dans f([a,b]) ou si f([a,b]) est inclus dans [a,b] alors f a un point fixe.

Salut,

comment as-tu montré ça? Parce que c'est faux aussi.

[girdav]

benekire doit cacher les hypothèses.

[benekire2]

oh oui c'est mal, vilain même, f est supposée continue et là , ça devient vrai :zen:

Pour pas que ce topic ne serve qu'à ça , ce matin j'ai vu la notion de continuité uniforme, et un exercice m'a posé problème, je le met:

Soit n€N. f:R+ -->R une application uniformément continue, on suppose que por tout p€N* Montrer que

L'exercice ne doit pas être bien dur, mais je débute, et pour le coup j'ai un peu de mal. Si quelqu'un pouvait me donner quelques éléments de réponse, merci :we:

PS. J'espère que la solution n'est pas aussi bête que ma premiere questin :ptdr:

[girdav]

On se donne un (quelle surprise !), tel que dès que alors .
On prend p tel que .
On veut montrer que pour x assez grand on a .
Soit tel que pour .
Pour tout on a
.
Il ne te reste plus qu'à conclure.

[benekire2]

Merci girdav, tu m'as éclairé :we:

Donc après il me suffit de dire qu'on peut trouver n/p>x tel que |x-n/p|N ce qui montre que tout colle. :happy3:

[girdav]

C'est ça : les pour entier parcourent en lassant un espace de .
On voit la puissance de la continuité uniforme dans ce cas. (heureusement que tu l'as indiquée.)

Pour le coup, comme ça devient l'exercice "dominant" du topic, il vaudrait mieux l'indiquer dans le titre.

[benekire2]

C'est ça : les pour entier parcourent en lassant un espace de .
On voit la puissance de la continuité uniforme dans ce cas. (heureusement que tu l'as indiquée.)

Pour le coup, comme ça devient l'exercice "dominant" du topic, il vaudrait mieux l'indiquer dans le titre.

Oui d'ailleurs sans continuité uniforme je sais pas si on y arrive (je pense pas d'ailleurs, faudrait demander a nightmare un contre exemple lui qui a l'air d'adorer ça [et il a raison] :zen: ) parce que ce qui a de bien c'est que les pour un y tout les x associés prennent le même delta... enfin je me comprends :id:

Je change le titre,

[Nightmare]

Est-on sûr que c'est faux si l'on suppose la fonction seulement continue? J'ai l'impression que ça marche aussi, surement du Baire quelque part.

[benekire2]

Je ne connait pas baire, mais je serais intéressé par une démo, ou du moins une idée. C'est a réfléchir :we:

[AL-kashi23]

c'est vrai avec f seulement continue; effectivement, Baire est la solution la plus rapide et limpide mais il doit exister une autre solution puisque cet exercice (avec f supposée continue) est un exo d'ens et que Baire est quand même largement hors programme.

@ Benekire, tu connais quoi en topo ? Parce que Baire nécessite les notions de résiduel, d'ouvert, d'intérieur, de complétude, de densité...

[Ben314]

Salut,
Ca me parrait un peu bizare que ça marche avec seulement f continue :

Si est telle que, sur chaque intervalle , on ait il me semble bien que est continue, ne tend pas vers 0 en mais que, pour tout entier fixé, tend vers 0 lorsque l'entier tend vers .

Mais peut-être ais-je mal compris l'énoncé...

[AL-kashi23]

Nan Ben, mea culpa, c'est moi, j'avais cru y voir le "classique" suivant :

1) f est supposée uniformément continue sur R.

Si pour tout x non nul lim f(nx)=0 quand n->+OO, alors lim f(x)=0 en +OO.

2) f est supposée uniquement continue. Même résultat.

Et pour la 2), Baire est le chemin le plus "simple"..