Continuité pour une norme

[Kiwiks]

Bonsoir,

J'ai un petit problème de maths. En effet, on a soit P= ak*X^k et N1(P)=|ak| (k est en indice pour ak et en exposant pour Xk)
Et je dois étudier selon a, la continuité de f:P ---->P(a).

Mon problème est que je ne peux pas définir N1(f(P)) étant donné que f(P) est un scalaire et P un polynome! Où est ce que je me trompe ?

Est ce que quelqu'un peut m'aider ?

Merci beaucoup d'avance!

[Ben314]

Salut,
Pour étudier la continuité d'une fonction que va de E dans F (espaces vectoriels normés), il faut avoir une norme sur E et aussi une norme sur F.
Ici, il semblerait bien que l'ensemble de départ de ta fonction (qui normalement devrait être précisé dans l'énoncé) est l'ensemble des polynômes qui est (dans cet exercice) muni de la norme N1.
Par contre, rien ne précise quel est l'ensemble d'arrivé...
Deux points de vue (qui donnent exactement le même résultat) :
1) P(a) est un réel donc on considère que l'ensemble d'arrivé est R et on le muni de la norme la plus usuelle qui soit, c'est à dire de la valeur absolue.
2) P(a) est un polynôme (constant) donc on peut considérer que l'ensemble d'arrivé est de nouveau l'ensemble des polynômes que l'on muni évidement de la norme N1. Sauf que, c'est quoi la norme N1 d'un polynôme constant (i.e. égal à a0 tout seul) ?
Conclusion.

[Kiwiks]

Merci pour votre réponse !
J'ai trouvé quelle était K lip avec un coef de lip max|ak|

Par contre je sais pas comment calculer la norme subordonnée
j'ai |||f|||=Sup{|P(a)|,N1(p)<=1 }

Merci :)

[arnaud32]

f est en effet une fonction lineaire de Kn[X] dans K

tu as




tu as donc


apres tu peux regarder pour P(X) = X^k ce que vaut N1(P) et fa(P) et conclure.

[Ben314]

J'ai trouvé quelle était K lip avec un coef de lip max|ak|

C'est clairement... n'importe quoi : ta fonction f ne dépend que d'un seul paramètre, 'a' donc, si elle est effectivement lischitzienne (ce qui en fait n'est pas toujours vrai), le coeff ne dépend évidement... que de 'a' (de quoi veut tu qu'il dépende d'autre ?)