Continuité et continuité uniforme????

[Anonyme]

bonjour a tous et joyeux NOEL.
j'ai du mal à comprendre la notion de continuité uniforme.
Ben, je sais que dans la definition par les epsilon l'existence de (alpha) ne depend que de eplsilon alors que dans la définition de la continuité simple l'existence de (alpha) depend a la fois de epsilon et de x. mais le probleme c'est que je n'arrive pas a m'immaginer la situation pour une fonction uniformémnet continue.c'est à dire qu'est q'une fonction continue a de particulier???
est ce que vous pouvez me donner des exemples de fonctions continues et un graphe (si vous avez un logiciel) pour mieux visualiser les variations de epsilon , de alpha, de x et de y pour mieux comprendre la continuité uniforme.
MERCI à TOUS.

[hans]

x->x^2 est pas uniformément continue car quel que soit h>0 et epsilon>0 tu peux trouver x tel que (x+h)^2-x^2 > epsilon


POur une fonction C1 la non continuité uniforme entraine que la dérivée n'est pas bornée sur R.

[Nightmare]

Grossiérement, le graphe d'une fonction uniformément continue n'admet de "pente" trop raide dirons-nous

Par exemple la parabole de la fonction carré présente un assez grand écart "entre les x et les y" (lorsque x est petit, y est plutot grand) et la fonction carré n'est pas uniformément continue

C'est trés vague je sais, mais c'est assez dur de se représenter la continuité uniforme

[Wutang]

Comme Snoopy, je ne me fais aucune realite de l'uniformement continu, en dehors de la definition mathematique.
Est-ce qu'on pourrait nous explicietr un peu avec des exemples par la topologie, de maniere a ce qu'intuitivement, on accede enfin a cette notion plus subtile.
Il y a comme un peu de frustration a connaitre une notion mathematique, mais a ne pas la rencontrer en idee. A "sentir" ce fait.
Quelque chose de concret, ce que Hans nous en dit reste theorique, par des proprietes, alors que j'aimerais quelque chose de finalement elementaire, si besoin, mais concret dans la comprehension. C'est ce fait que je n'arrive pas a sentir, comme il fut un temps ou je n'arrivais pas a sentir en physique la notion d'entropie. D'accord, on sait ca en maths, mais ca ne m'est pas naturel. Helas...
Et cette frustration est en rapport avec quelque chose de tres simple. Comme on dit, ce qui se concoit aisement s'explique clairement. :++:
Eh bien, je ne saurais pas l'expliquer clairement, alors si on pouvait me donner un petit coup de pouce, ce petit declic... :lettre:
Merci.
:jap:

[Anonyme]

alors qu'est ce que vous en dites a propos de la visualisation dde la continuité uniforme???

[Anonyme]

salut snoopy
tu sais ne te casse pas la tete a visualiser des trucs abstraits. c'est comme ca les maths c'est un autre univers. il faut parfois accepter de manipuler des trucs qu'on ne peut pas "sentir". mais je ne sais pas comment on a fait pour inventer les "être mathématiques" qui ne sont pas maniables sachant qu'on a besoin d'une intuition avant toute invention. ??????????????????

[quinto]

x->x^2 est pas uniformément continue car [...]

Oui et non, car la notion de continuité uniforme dépend de l'ensemble sur lequel on se place, et sur un compact cette fonction est continue, mais elle ne l'est pas sur les intervalles non bornés de R.

[Alpha]

Je confirme ce que dit Quinto, et pour ce qui est de la visualisation, la non continuité uniforme de x->x² sur R est claire car on voit bien que, quelle que soit la distance a qu'on se fixe, aussi petite que l'on veut, entre 2 points, on pourra toujours trouver 2 points d'abscisses distantes de a et aussi distants que l'on veut.

Avec la courbe de x->x², c'est clair : une fois cette distance a fixée, il suffit par exemple de déplacer les 2 abscisses distantes de a suffisamment vers la droite, et progressivement, la distance entre les 2 points correspondant va augementer. Comme la pente de la courbe représentative de la fonction x->x² augmente sans cesse, la distance entre ces deux points va tendre vers l'infini. Ce qui contredit la continuité uniforme.

Cordialement, Alpha

[Wutang]

Allons plus loin, maintenant que vous avez tres bien illustre votre propos :++:
Plutot que y=x^2, qui n'est donc pas uniformement continue, prenons une fonction pourtant bornee : y=sin(exp x). Elle n'est pas plus uniformement continue...

Pour reprendre y = x^2, je rappelle le theoreme de Heine qui est quand meme tres important :
Si f est une fonction continue sur un segment I=[a,b], elle y est uniformement continue.
Est-ce qu'alors sur [23,24] par exemple, y=x^2 serait uniformement continue ? C'est a dire, a partir de quel moment x^2 peut-etre dans un compact, encore uniformement continue, et a partir de quel moment cela ne sera plus ?
Merci pour votre aide. :jap:

[quinto]

Pour reprendre y = x^2, je rappelle le theoreme de Heine qui est quand meme tres important :
Si f est une fonction continue sur un segment I=[a,b], elle y est uniformement continue.

En fait le théorème fonctionne sur tout compact, pas uniquement sur les segments.

Est-ce qu'alors sur [23,24] par exemple, y=x^2 serait uniformement continue ?

Oui car justement x->x^2 est continue sur R, donc sur tout compact, donc sur celui ci + théorème de Heine.

C'est a dire, a partir de quel moment x^2 peut-etre dans un compact, encore uniformement continue, et a partir de quel moment cela ne sera plus ?

Je ne comprend pas cette question
A+

[Wutang]

Autant pour moi, j'ai fait une mauvaise formulation.
Merci pour ces eclaircissements :++:

[Anonyme]

bonjour
je n'ai pas compris le théorème de Heine qui dit que toute fonction continue sur UN SEGMENT y est uniformément continue!!!! car , à mon avis, si c'etait comme ça, une fonction continue sur R y sera uniformement continue car R représente un ensemble infinie de segments...!!vous voyez ce que je veux dire? car , intuitivement, x² n'est pas U-C sur un segemnt [a,b].
en fait, j'ai fait un dessin de x² sur l'intervalle [0,5] j'ai fixé un epsilon sur l'axe des ordonnées et j'ai trouvé un alpha sur l'axe des abscisses, mais ce pauvre alpha depend de de x et x' car car si je change l'emplacement de x et x' en gardant le meme epsilon je trouve que alpha varie aussi. donc x² n'est pas U-C sur [0,5].
pouvez vous m'aider à trouvé l'erreur que j'ai faite???

[yos]

Bonjour.
Alors on conteste les théorèmes?
Pour ton exemple tu prends alpha=epsilon/10 :
|x-x'|On multiplie les deux : |x²-x'²|

[Anonyme]

bonjour yos
et si on change d'intervalle par exemple si on prend l'intervalle [-2000,2000].
x² est continue sur cet intervalle mais y est elle U-C???? car, dans la pratique, on confond par exemple [-2000,2000] avec R car 2000 est trop grand!!!! cela dit, qu'est ce qui empêche alors x² de ne pas etre U-C sur R alors qu'elle l'est sur [-2000,2000]????
(moi je n'ai pas encore fait la C-U en classe , je connais à peine cette notion pendant ces vacances..., alors pas la peine de me donner des explications avec les compacts...)
MERCI INFINIMENT

[quinto]

bonjour yos
et si on change d'intervalle par exemple si on prend l'intervalle [-2000,2000].
x² est continue sur cet intervalle mais y est elle U-C????

Oui puisque c'est le théorème.
Le théorème ne dit pas que c'est vrai sur les compacts petits, et d'ailleurs qu'est ce que signifierait être petit?

on confond par exemple [-2000,2000] avec R car 2000 est trop grand!!!!

Bein voyons...

cela dit, qu'est ce qui empêche alors x² de ne pas etre U-C sur R alors qu'elle l'est sur [-2000,2000]????

C'est un peu comme cette analogie que je vais faire, histoire que tu comprennes:
Tu as un ensemble à 10^100 éléments. C'est clair qu'il est très gros, et tu as envie de dire qu'il est infini, (d'ailleurs physiquement, un tel nombre n'a quasiment aucun sens...) mais il est bel et bien fini, et cet ensemble se comporte comme tel, et n'a pas les propriétés des ensembles infini, aussi grand soit il.
Tu étudies la fonction x->x sur un ensemble [-n,n] avec n aussi grand que tu veux. Même pour n=10^1000, ta fonction est bornée et atteint ses bornes. Pourtant n est vraiment grand....

Ici c'est pareil, on est sur un compact, alors peut etre qu'il faudra prendre eta vraiment très petit par rapport a epsilon pour que ca marche, mais ca va marcher.

[Wutang]

Je n'ai pas compris le théorème de Heine.

Le mieux est donc de lire >sa demonstration<.

C'est tres clair, toute fonction reelle de la variable reelle, continue sur un segment, y est uniformement continue.
On remarque bien que nous ne sommes pas egaux devant ces notions intuitives de topologie, et notamment dans la continuite. On peut comprendre le theoreme et ne pas s'en faire une representation evidente pour l'esprit. Et je ne crois pas que ceci soit directement en rapport avec le niveau d'etude. Il y a des chose qui sont pour certains evidentes, et qui font buter d'autres sur leur apparent non-sens. C'est pour ma part ce que je signalais, en invoquant justement ce theoreme pertinent. :lol3:

En prenant une fonction pourtant bornee : y=sin(exp x), elle n'est cependant pas uniformement continue...

Passionnant, tout cela ! :++:
Esperons quelque exercice d'application qui nous rendra plus apte a mieux comprendre, non un theoreme, mais ces notions assez intuitives.
:jap:

[quinto]

C'est tres clair, toute fonction reelle de la variable reelle, continue sur un segment, y est uniformement continue.

Le théorème dit que dans tout espace métrique compact, toute fonction continue est uniformément continue.
Je n'ai jamais vue de généralisation dans les espace topologiques quelconques, car l'uniforme continuité ne me parrait pas simple à y être définie, ou n'aurait tout simplement aucun sens.
Quoiqu'il en soit, on peut considérablement généraliser le cas réel, et le cas où l'ensemble est un segment. Notamment on travaille sur les compacts.
A+

[Wutang]

Le théorème dit que dans tout espace métrique compact, toute fonction continue est uniformément continue.
Je n'ai jamais vue de généralisation dans les espace topologiques quelconques.

On est bien d'accord, ai-je dit autre chose en parlant de variable reelle ? Ou de fonction reglee ? N'est-ce pas applicable aux espaces de Banach ?

Heine, c'est bien dans ce theoreme que, notamment, toute fonction
numerique continue sur un segment I est uniformement continue sur ce segment I, non ?
Je n'arrive pas a voir le reproche qui me serait fait ?
Mais peut-etre me suis-je trompe sans le savoir. Ou serait mon erreur dans un contre exemple ? :briques:

La continuite uniforme n'est en rien une notion veritablement topologique, il est clair que c'est une notion metrique.
:jap: