Construction d'une norme sur R[X] (niveau: L3)

[anonyme1234567]

Bonjour.

Désolé d'avance, le message ne sera pas écrit en Latex, je maitrise mal l'interface de ce site (c'est mon premier post).

Je poste aujourd'hui car je rencontre des difficultés à résoudre l'énoncé suivant: "Soit Q un polynôme de R[X]. Construire une norme sur R[X] telle que la suite (X^n) converge vers Q au sens de cette norme".

L'énoncé vient avec une indication, celle de considérer une base algébrique autre que la base canonique, faisant intervenir Q. Je me suis donc placé dans ce qui me semblait le plus naturel, à savoir (en ayant noté N le degré de Q), la base B=(1, X, ..., X^(N-1), Q, XQ, X²Q,...).
J'ai essayé d'avoir une écriture de X^p dans cette base pour p grand, afin de regarder la tête de X^p - Q pour p grand, et d'en déduire sa norme de manière directe, mais cela n'a pas fonctionné. Je n'ai pas eu d'autres idées fructueuses pour le moment. Je doute que la construction soit particulièrement dure, étant donné que cet exercice provient d'un TD de début d'année dans lequel je me replonge aujourd'hui, mais je coince. Quelqu'un a-t-il une piste?

Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Pour ne pas te donner la solution complète mais une "bonne" indication, que penserait tu d'une base dans laquelle, pour tout n suffisamment grand, le polynômes X^n-Q ait pour coordonnées (0,0,...,0,1/n,0,0,...) ?.

[anonyme1234567]

Salut,
Pour ne pas te donner la solution complète mais une "bonne" indication, que penserait tu d'une base dans laquelle, pour tout n suffisamment grand, le polynômes X^n-Q ait pour coordonnées (0,0,...,0,1/n,0,0,...) ?.

Merci, ton indication est précieuse et j’ai pu faire l’exercice. J’ai encore du mal à être « pragmatique » avec ce genre d’exos, ça viendra avec le temps je pense.
Bonne soirée.

[Ben314]

A la limite, si tu veut chercher un truc un peu plus vicieux, l'exo. peut inciter à se poser la question suivante :

Pour un polynôme Q fixé, la famille de polynômes En = X^n-Q avec n dans N est-elle une base de K[X] ?