Construction de Z!

[Ludo1be]

Bonjour à tous,

Voilà, dans un de mes cours, je vois comment on construit les ensembles de nombres qu'on connait. Pour N aucun problème (on l'a fait avec les axiomes de Peano puis de là démontré des propriétés avec le principe de récurrence).

Maintenant, on arrive à Z et là ça se complique....
On commence à introduire NxN et on démontre quelques propriétés avec +, associativité, commutativité, tout ça,... Idem pour la multiplication.Là ça va toujours.

Après ça, mon prof introduit une relation d'équivalence définie comme suit:
Pour tout (a,b), (a',b') appartenant à NxN, (a,b)R(a',b') ssi a+b' = a'+b

Je vois bien que c'est une relation d'équivalence, je visualise bien les classes,...


Et là où je bloque net, c'est qu'il me dit que Z ce n'est que le groupe quotient NxN / R (R étant ma relation d'équivalence défiinie plus haut)

Je vois mal en quoi ça me donnerait par exemple -7, -5, -26 De part le quotient de couples de nombres naturels....


Quelqu'un sait?
Merci d'avance

[Dinozzo13]

Salut !

oui, selon moi, tu n'as pas tort.
Comment faire des négatifs avec du positifs et des additions ?

[Skullkid]

Bonjour, l'idée c'est de représenter par le couple (a,b) le résultat de la soustraction b-a pour tous entiers naturels a et b. Le quotient par la relation d'équivalence sert à rassembler les couples qui donnent le même résultat : b-a = b'-a' équivaut bien à a'+b = a+b' si on veut rester cohérent avec l'addition des entiers naturels.

Par exemple, ce qu'on appelle -7 c'est la classe du couple (7,0).

On fait la même chose pour passer de Z à Q en définissant le rationnel a/b par la classe du couple (a,b) modulo une relation d'équivalence adéquate.

[Dinozzo13]

Bonjour, l'idée c'est de représenter par le couple (a,b) le résultat de la soustraction b-a pour tous entiers naturels a et b. Le quotient par la relation d'équivalence sert à rassembler les couples qui donnent le même résultat : b-a = b'-a' équivaut bien à a'+b = a+b' si on veut rester cohérent avec l'addition des entiers naturels.

Par exemple, ce qu'on appelle -7 c'est la classe du couple (7,0).

On fait la même chose pour passer de Z à Q en définissant le rationnel a/b par la classe du couple (a,b) modulo une relation d'équivalence adéquate.

Ah ben oui ! :mur:

[Nightmare]

Hello,

le principe est simple :

-7 = 3 - 10 = 5 - 12 = 1 - 8 = 7 - 14

etc.

Autrement dit, -7 se défini par la donnée de tous les couples (a,b) tels que a+7=b, ce qui correspond dans le cas de notre relation d'équivalence à la classe (0,7).

:happy3:

[Ludo1be]

D'après ce que j'ai compris:

si a(0,n)
et si a>b, on aura la classe de (a,b) dans R définie comme suit:
(n,0)

de là on identifie n à (n,0)
et on sait que le neutre pour + dans NxN / R c'est (0,0)
et donc on sait que le symétrique de (n,0) sera (0,n) qui sera identifié sous la forme (-n)

C'est bien cela?

[Nightmare]

Tout à fait!

[Doraki]

[quote="Ludo1be"]D'après ce que j'ai compris:

si a=b ou a<=b.


Moi j'aime bien interpréter (a,b) comme l'équation a = b+x.

Ainsi, une classe est un ensemble d'équations, et on dit qu'un élément de Z, ben c'est la même chose que l'ensemble des équations qu'il vérifie. Et toute équation a une solution dans Z (sa classe d'équivalence). Par exemple "-7" c'est l'entier qui est solution de l'équation 0 = 7+x = la classe d'équivalence de l'équation 0=7+x.

On fait pareil pour construire Q, on dit que Q c'est l'ensemble des solutions des équations de la forme a = b*x avec a et b dans Z et b non nul. Ou alors l'ensemble des solutions des équations de la forme a = b+c*x avec a,b,c dans N et c non nul.

[Ludo1be]

Oui c'est bien cela mais je crois que notre prof s'est limité à (n,0) dans un souci de facilité afin de bien visualiser chaque nombre et son symétrique (0,n).


Merci à tous pour votre aide, je pense que c'est clair désormais ; -)