Conservation de la trace

[ghis2007]

Bonjour

Je cherche à montrer que tout endomorphisme matriciel vérifiant f(AB)=f(A)f(B) et f(I)=I conserve la trace.

A part remarquer que f(A)^-1=f(A), je ne sais pas quoi dire et je ne vois pas par quoi commencer....

Merci.

[fahr451]

bonjour

on le montre pour les matrices élémentaires Eij

Eij Eij = 0 ( j différent de i)
donc f(Eij) ^2 = 0 et f(Eij) est nilpotente sa seule valeur propre complexe est 0 sa trace est donc bien nulle

Eii Eii = Eii donc f(Eii)^2 = f(Eii)

f(Eii) est une projection sa trace est un entier naturel égal à son rang
on montre que ce rang n'est pas nul
si le rang est nul f(Eii) = 0 et pour j différent de i
EijEji = Eii ce qui donne f(Eij)f(Eji) = 0 notée AB = 0
EjiEij = Ejj soit f(Eji)f(Eij) = f(Ejj) soit BA = f(Ejj)

puis B(AB)A = 0 = f(Ejj)^2 or f(Ejj)^2 = f(Ejj)

donc f(Ejj) = 0

puis I = sigma (Ejj) donne f(I) = 0
absurde donc f(Eii) non nul sa trace vaut au moins 1
et comme f(I) = I = sigma f(Ejj) toutes les traces valent 1

f conserve la trace sur les matrices élémentaires donc partout

[ghis2007]

Pas mal ! :we:
Merci beaucoup.

[fahr451]

ah oui j'ai cherché un tit peu pour celui la

[Joker62]

J'avou c'est super joli :) Bravo ;)