Condition de diagonalisabilité d'une matrice

[Iggysan]

Bonjour, j'ai l'énoncé suivant : Soit F l'application de x dans définie par F(A,B) = avec A =

1) Montrer que pour tous

2) Soit A,B . Déterminer le rang, la trace et le déterminant de F(A,B).

3) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur A,B de diagonalisabilité de F(A,B)

-> pour la 1), aucun soucis
-> pour la 2), j'ai trouvé tr(F(A,B))=tr(A)tr(B) et et rg(F(A,B)) en fonction de rgB et du rang de A
-> pour la 3) par contre, j'ai d'abord essayé d'étudier le cas A et B diagonalisables pour montrer que F(A,B) l'est aussi. J'ai essayé de lier les polynômes caractéristiques de A,B et F(A,B) sans succès puis de m'intéresser aux valeurs propres des trois matrices mais je ne trouve rien de concluant.
Merci d'avance si l'un de vous peut m'aider

[pascal16]

la relation sur les déterminants ne te donne pas une solution évidente ?

[GaBuZoMeu]

En utilisant 1), on peut montrer que si A est semblable à D et B semblable à E, alors F(A,B) est semblable à F(D,E). Ça peut aider à trouver une condition suffisante de diagonalisabilité.
Trouver une condition nécessaire et suffisante, ça me paraît nettement plus vache. On peut méditer sur l'exemple


PS. Je ne vois absolument pas la "solution évidente" de pascal16.

[pascal16]

j'ai parlé trop vite en effet

je multipliais F(A,B) par
MO
OM
à droite avec M la matrice M de M^-1.B. M, la matrice de passage pour B diagonalisable
à gauche avec M^-1 à la place de M
Mais j'ai pensé qu'on tombait sur des "Id2" avec des expressions simples mais on tombe sur les vap.

[GaBuZoMeu]

Pour mettre les points sur les i , la condition suffisante à laquelle je faisais allusion est : si A et B sont diagonalisables, alors F(A,B) est diagonalisable.
L'exemple que j'ai donné montre que la réciproque n'est pas vraie.

[Iggysan]

Bonjour, merci pour vos réponses à tous les deux. Effectivement le fait que A et B soient diagonalisables n’est pas une une condition nécessaire et suffisante mais l’on m’a conseillé d’étudier plusieurs cas (l’une diagonalisable et l’autre trigonalisable, les deux trigonalisables, l’une diagonalisable sur R et l’autre sur C) j’ai commencé par le cas le plus « simple », la question étant effectivement difficile pour mon niveau actuel. Je vais commencer par ce que tu as proposé GaBuZoMeu, merci beaucoup !

[GaBuZoMeu]

Comme je l'ai déjà écrit, la diagonalisabilité de A et B est suffisante pour la diagonalisabilité de F(A,B), et la démonstration de cette implication est assez facile avec ce que tu as montré à la question 1.

[Iggysan]

En appliquant deux fois 1) j’ai effectivement trouvé. Pour analyser les autres cas (trigonalisabilite de l’une ou des deux matrices A, B), est ce qu’en appliquant une méthode similaire je pourrai aboutir à un résultat ? J’ai l’impression que oui mais c’est surement plus compliqué que la simple diagonalisabilité, peut être que j’ai manqué quelque chose

[GaBuZoMeu]

On peut certes de la même façon montrer que si A et B sont trigonalisable, alors F(A,B) est trigonalisable, etc.
On peut ainsi donner les valeurs propres de F(A,B) en fonction de celles de A et celles de B.
Mais je ne vois pas comme ça de condition nécessaire et suffisante pour la diagonalisabilité. As-tu regardé l'exemple que j'ai donné plus haut ?

[Iggysan]

Dans ton exemple, A et B sont antisymétriques donc non diagonalisables sur R mais sur C si je ne me trompe pas ? On aura alors F(A,B) diagonalisable sur C ?

[GaBuZoMeu]

Regarde de plus près !

[Iggysan]

Ahh oui après calcul ca me donne F(A,B) diagonalisable dans R ! J’ai testé avec deux matrices A et B antisymétriques quelconques ensuite, et cela me donne le même résultat. Est ce que, dans le cas A et B diagonalisables sur C, « A et B antisymétriques » est une condition nécessaire et suffisante pour F(A,B) diagonalisable sur R ? (Si l’une seulement l’est ça ne marche pas)

[GaBuZoMeu]

Tu peux regarder quelles sont les valeurs propres de F(A,B) en fonctions de celles de A et B (en trigonalisant sur par exemple). Ça devrait te permettre de répondre à ta question.

[Iggysan]

Effectivement, merci beaucoup pour ton aide

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.