[Développement limité] Composition, quel ordre utiliser ?

[Wenneguen]

Bonjour bonsoir,

je suis encore largement débutant dans la noble discipline que constitue le calcul de développements limités, c'est pourquoi je me permet quelques questions :

Pour calculer un DL à l'ordre 5 de ln[1 + sin(x)], quels ordres choisir pour calculer les DL intermédiaires, à savoir sin(x) et ln(1 + u) ? Mes camarades de classe m'assurent qu'il faut faire le DL à l'ordre 5 de sin(x) puis encore une fois à l'ordre 5 pour ln(1+u). Mais est-ce qu'on ne pourrait pas se contenter d'un DL à un ordre inférieur pour ln(1+u) ? Quel est l'intérêt d'aller jusqu'à 5 ? Est-ce obligatoire ?

Merci pour votre aide !

[Skullkid]

Bonjour, il faut pousser les deux DL intermédiaires à l'ordre 5. En effet, ce que tu appelles u sera égal à un truc de la forme x + P(x) (je suppose que tu parles de DL en 0), donc le terme en u^5 du DL de ln(1+u) va contenir un terme en x^5, qu'il faut prendre en compte. Si tu ne pousses le DL de ln(1+u) que jusqu'à l'ordre 4, par exemple, tu perds cette contribution et ton résultat sera faux.

Mais ce n'est pas une règle générale, on peut parfois s'affranchir de quelques ordres. Par exemple, pour ln(cos x) à l'ordre 3 en 0, il suffit de développer le cos à l'ordre 3 et le ln à l'ordre 2 (écris sur un papier ce que ça donne quand tu développes le ln aux ordres 1, 2 et 3 pour te rendre compte). En gros, il faut pousser les DL suffisamment loin pour avoir toutes les contributions aux termes polynomiaux qui t'intéressent ET avoir les "bons" termes négligeables (c'est-à-dire que tu ne veux pas te retrouver avec des o(x^4) quand tu fais un DL à l'ordre 5). Par exemple, pour ln(cos x) à l'ordre 3, si tu développes le ln à l'ordre 1, tu auras les bons termes polynomiaux, mais tu te retrouveras avec un o(x²) hautement indésirable.

Malheureusement je ne crois pas qu'il y ait de recette miracle, le feeling vient avec l'entraînement, il faut arriver à faire le DL mentalement pour prédire les termes qui seront importants ou non... Quand tu hésites vraiment, je pense qu'il est plus sage de tout développer à l'ordre auquel tu veux ton DL final, quitte à perdre du temps.

[Wenneguen]

D'accord merci, je ne comprends pas totalement pourquoi le résultat serait faux avec un DL de ln(1+u) à l'ordre 4 seulement ( oui il manque le x^5 du u^5, mais dans le déroulement du calcul rien ne laisse pourtant apparaître que le résultat est faux ! :/ ) mais tu m'as convaincu et je crois que je vais appliquer la méthode la plus sage :we: