Comparaison de produit de 2 listes

[raksmey]

Bonjour,
J'ai une observation en mathématique que je n'arrive pas à démontrer... N'étant pas dans le domaine des mathématiques, je me demandais aussi si ce n'est pas une question déjà réglée depuis belle lurette... Dont voici l'énoncé :
Soit un entier n (>0) et deux listes L1 et L2 qui sont deux partitions en nombres entiers différentes (mais de même taille) de n. Posons prod(L) le produit des éléments de la liste L et max(L) la valeur maximum des éléments de la liste L. Ce qu'on remarque c'est :
Si max(L1) > max(L2) alors prod(L1) < prod(L2).

Mais je n'arrive pas à démontrer ça, ni avoir le prémice de l'ombre du point de départ d'une possible démonstration...

Merci pour votre aide si cela se peut...

Amicalement.

Raksmey.

[nodjim]

Si j'ai bien compris, je prends par exemple n=15
et les listes L1=1;2;3;4;5 et L2=1;1;2;2;9 la somme de chacun d'eux est 15.
maxL1=5 maxL2=9
P(L1)=120
P(L2)=36
conjecture vérifiée.
Intuitivement, ça semble assez logique, et ça se vérifie en dimension 2 et peut être 3.
Oui, il y a sans doute une démo qui le prouve.

[nodjim]

Contre exemple:
n=18
L1=(1;7;10) P=70
L2=(2;4;12) P=96

[raksmey]

Merci nodjim,
J'ai eu du mal à trouver un contre exemple étant sur pas mal de choses depuis ce matin.

Je m'y replonge.

[Le_chat]

Par contre un truc qu'on peut montrer, il me semble, est que Prod(L) est maximal en mettant le "plus" de 3 possibles puis que des 2.

En fait pour trouver la combinaison qui donne Prod(L) maximal en partant de n, tu retires des 2 à n jusqu'à tomber sur un multiple de 3, je pense.

[nodjim]

Le max est tout trouvé: comme ce sont des entiers tous différents, il faut que la différence soit la plus petite possible: une série d'entiers successifs. Par exemple pour 5,6,7,8,9 avec n= 35 et 5 nombres, vous ne trouverez pas de combinaisons dont le produit sera supérieur.

[raksmey]

Bonjour,
Merci pour toutes vos réponses. Qu'elles soient directement en réponse ou des exemples ce sont des idées inestimables ! C'est clair, à plusieurs on a trouve plus facilement des pistes à approfondir.

Précision sur le problème, lorsque je disais des partitions d'entiers différentes, ce sont les partitions que je voulais différentes.
Puis ce que je recherche depuis le début c'est en fait une condition suffisante pour dire qu'une partition en entiers est de produit inférieure à une autre. Plus précisément, je redéfini le problème :

Soit deux entiers n (>0) et k (>0), on recherche la partitions en nombres entiers (>1) de n, de taille k dont le produit est minimum.
Par exemple pour n=10 et k=3 on a :
[2,2,6] = 24
[2,3,5] = 30
[2,4,4] = 32
[3,3,4] = 36

Ce qui semble apparaître c'est que moins la liste est "étalée" moins important est le produit. Ce que intuitivement on peut comprendre comme ce sont des produits.

Merci pour votre aide déjà précieuse.

[nodjim]

Oui. Si les entiers de la liste peuvent être déclarés plusieurs fois,, alors le max est obtenu pour les listes dont les entiers sont les plus proches de n/k.
Dans ton exemple: n/k=3.333.. alors on trouve d'abord (3,3,3) et comme il manque une unité on met un 4: (3,3,4) est le max.

[raksmey]

Merci nodjim. Comme ça je suis sûr de ne pas être entrain de chercher la démonstration de quelque chose de fausse :)

[chan79]

Merci nodjim. Comme ça je suis sûr de ne pas être entrain de chercher la démonstration de quelque chose de fausse

pour k=3 et S=20 par exemple
Il s'agit de trouver les entiers x et y tels que P(x,y)=xy(20-x-y) est maximum et (20-x-y) entier positif
tu devrais chercher une méthode pour déterminer les extrema d'une fonction à deux variables et à valeurs dans R.
6*7*7=294

[raksmey]

Merci chan79. C'est la piste dans laquelle je suis parti et avec l'étude des extrema pour une fonction à plusieurs variables, j'ai démontré que la partition en nombre réels de plus fort produit est bien celle dont tous les éléments sont égaux à la moyenne.
1) Détermination du point critique de la fonction P(x1,..., x(k-1))=x1*...*x(k-1)*(b-x1-...-x(k-1))
=> (n/k,...,n/k)
2) Montrer que le point critique est un extremum
=> étude du signe de : P(n/k+epsilon1,...,n/k+epsilon(k-1)) - P(n/k,...,n/k)

Maintenant, je vais réfléchir sur la manière d'adapter ça pour les partitions en nombres entiers. Si jamais vous avez une piste elle est la bienvenue comme toujours

[Doraki]

Si tu prends deux entiers a < b dans ta partition qui sont séparés de plus que 1 (b-a > 1)
alors comme (a+1)(b-1) = ab+(b-a)-1 > ab, tu y gagnes en rapprochant ces deux entiers l'un de l'autre.
Donc la meilleure partition sera forcément constituée de k entiers égaux ou presque, qui sont donc autour de n/k.
Si n = qk + r (avec 0 <= r < k) = (k-r)q + r(q+1),
la meilleure partition est constituée de r fois l'entier (q+1) et (k-r) fois l'entier q.


Pour avoir le produit minimum, il faut éloigner les entiers le plus possible. Le seul moment où on ne peut plus bouger un entier c'est quand il est sur 1, donc il faut prendre (k-1) fois l'entier 1 et 1 fois l'entier (n-k+1)

[raksmey]

Merci Doraki la démonstration est bien plus simple que celle que j'avais !

[raksmey]

Bonjour,
Je reviens sur le forum pour vous remercier tous, de m'avoir aider à résoudre le problèmes. Grace à toutes vos suggestions, j'ai pu résoudre mon problème de manière tout à fait satisfaisante.
Heureusement que ce forum.

Amicalement.