Comparaison entre deux variables aléatoires continues

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informix
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Comparaison entre deux variables aléatoires continues

par informix » 02 Sep 2010, 14:49

Bonjour,

Est-ce que vous pouvez, svp, me rappeler comment déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire continue X soit supérieure à une autre variable continue Y.

?

Excusez-moi si ma question est bête ! :mur:



MathMoiCa
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par MathMoiCa » 02 Sep 2010, 16:00

Salut,

Conditionne par rapport à la valeur que prend une des va. Sinon, prends la densité du couple et écris l'intégrale de la région.


M.

informix
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par informix » 02 Sep 2010, 16:39

Merci pour l'aide.

Est-ce que ce raisonnement est correct :

dans le cas où X et Y ont la même loi; F est la fonction de répartition de X-Y.

Si on suppose que X et Y sont gaussiennes, de paramètres (m1,s1) et (m2,s2) alors, la variable (X-Y) a comme paramètres:

moyenne:
variance:

Y-a-t-il une erreur à ce niveau ?

MathMoiCa
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par MathMoiCa » 02 Sep 2010, 19:04

informix a écrit:Merci pour l'aide.

Est-ce que ce raisonnement est correct :

dans le cas où X et Y ont la même loi; F est la fonction de répartition de X-Y.

Si on suppose que X et Y sont gaussiennes, de paramètres (m1,s1) et (m2,s2) alors, la variable (X-Y) a comme paramètres:

moyenne:
variance:

Y-a-t-il une erreur à ce niveau ?

Oui.

Que X et Y aient même loi ou pas, est bien la fonction de répartition de X-Y.

Ensuite, ok X-Y a bien ces caractéristiques, mais ça ne détermine pas sa loi. Et comme X et Y ne sont pas indépendantes (ce n'est pas mentionné), on ne peut pas dire que X-Y est une v.a. gaussienne. Si elles le sont, alors oui X-Y est une v.a. gaussienne et le problème devient plus facile à résoudre.


M.

informix
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par informix » 02 Sep 2010, 20:59

Oui.

Que X et Y aient même loi ou pas, est bien la fonction de répartition de X-Y.

Ensuite, ok X-Y a bien ces caractéristiques, mais ça ne détermine pas sa loi. Et comme X et Y ne sont pas indépendantes (ce n'est pas mentionné), on ne peut pas dire que X-Y est une v.a. gaussienne. Si elles le sont, alors oui X-Y est une v.a. gaussienne et le problème devient plus facile à résoudre.


Si je suppose que X et Y sont indépendantes, alors, Z=X-Y est gaussienne. Quel résultat mathématique/théorème avez-vous utilisé?

Autre question qui m'embête toujours :

On suppose que :

: une fonction continue en x à valeurs dans IR, qui dépend d'une variable aléatoire continue .


et


x et y deux vecteur du domaine d'existence de .

Nous avons un résultat du théorème centrale limite qui nous confirme que X et Y sont deux v.a gaussiennes., et que lorsque N tend vers l'infini, tend vers .

Pouvez-vous confirmer que X et Y sont indépendantes ?

Sinon, quelle(s) condition(s) satisfaire pour qu'elles le soient ?

Merci infiniment. :briques:

MathMoiCa
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par MathMoiCa » 02 Sep 2010, 23:26

informix a écrit:Si je suppose que X et Y sont indépendantes, alors, Z=X-Y est gaussienne. Quel résultat mathématique/théorème avez-vous utilisé?

Ça se montre trivialement au moyen des fonctions caractéristiques, ou fonctions génératrices des moments, ou toute autre fonction du même type.

Autre question qui m'embête toujours :

On suppose que :

: une fonction continue en x à valeurs dans IR, qui dépend d'une variable aléatoire continue .


et


x et y deux vecteur du domaine d'existence de .

Nous avons un résultat du théorème centrale limite qui nous confirme que X et Y sont deux v.a gaussiennes., et que lorsque N tend vers l'infini, tend vers .

Pouvez-vous confirmer que X et Y sont indépendantes ?

Sinon, quelle(s) condition(s) satisfaire pour qu'elles le soient ?

Merci infiniment. :briques:

Par contre là j'avoue que je suis perdue...
Quelles sont les valeurs prises par i dans les définitions de X et Y ?
Que représente ?
Que représente N ?

Est-ce que le théorème central limite ne dit pas plutôt que X et Y (modulo un certain facteur multiplicatif) convergent vers des lois normales ?

Il serait préférable que tu mettes tout l'énoncé, ce sera peut-être plus clair (mais attention, je ne dis pas que je saurai t'aider...)


M.

informix
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par informix » 02 Sep 2010, 23:38

Par contre là j'avoue que je suis perdue...
Quelles sont les valeurs prises par i dans les définitions de X et Y ?
Que représente ?
Que représente N ?

Est-ce que le théorème central limite ne dit pas plutôt que X et Y (modulo un certain facteur multiplicatif) convergent vers des lois normales ?

Il serait préférable que tu mettes tout l'énoncé, ce sera peut-être plus clair (mais attention, je ne dis pas que je saurai t'aider...)


je prend un exemple:

F(x,w) = x² + x + w, où w est une variable aléatoire continue. Soit w = Normal(0,1)

Soit I = {w1, w2, ..., wN}: un ensemble de N réalisation de la v.a W.

On définit

X = 1/N * (F(x,w1) + F(x,w2) + ... + F(x,wN))

Y = 1/N * (F(y,w1) + F(y,w2) + ... + F(y,wN))

Un résultat mathématique nous dit que: X suit une loi normale. Y aussi.

Je cherche à savoir si X et Y sont indépendantes ou non?

J'espère que c'est plus clair maintenant.

informix
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par informix » 03 Sep 2010, 11:21

X et Y sont-elles indépendantes sachant qu'elles ont été construites à la base d'un même échantillon de la v.a W de I = {w1, ..., wN}

MathMoiCa
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par MathMoiCa » 04 Sep 2010, 10:35

informix a écrit:je prend un exemple:

F(x,w) = x² + x + w, où w est une variable aléatoire continue. Soit w = Normal(0,1)

Soit I = {w1, w2, ..., wN}: un ensemble de N réalisation de la v.a W.

On définit

X = 1/N * (F(x,w1) + F(x,w2) + ... + F(x,wN))

Y = 1/N * (F(y,w1) + F(y,w2) + ... + F(y,wN))

Un résultat mathématique nous dit que: X suit une loi normale. Y aussi.

Je cherche à savoir si X et Y sont indépendantes ou non?

J'espère que c'est plus clair maintenant.

Ah ben voilà, c'est tout de suite mieux !!!
Oui, si F est une fonction linéaire en sa deuxième variable, et que cette deuxième variable est effectivement une v.a. gaussienne, X et Y suivent une loi normale. Ce que je veux dire, c'est que X et Y sont des gaussiennes si F(x,w)=f(x)+aw, avec w gaussienne.
Mais ce n'est pas du tout le TCL qui nous permet de dire ça !
Avant d'essayer de résoudre un problème, il faut que tu sois capable de formuler correctement l'énoncé, capable d'appliquer les théorèmes fondamentaux, comme le TCL. Et en voyant ce que tu as posté sur l'autre forum, je vois aussi que tu prends les autres pour des ignares, à leur expliquer les imbrications grâce au TCL et tout et tout, alors que je te le dis et répète, comme l'ont fait d'autres, le TCL n'a rien à voir ici. Le TCL permet de déterminer une limite en loi de v.a. alors qu'ici tu t'intéresses à la loi des v.a. .


Avec la fonction F que tu utilises, il est possible de prouver l'indépendance ou la corrélation des v.a. X et Y en utilisant la covariance. Si la covariance est nulle, comme X et Y étant des v.a. gaussiennes (hypothèse importante !), elles sont alors indépendantes. Sinon, elles ne le sont pas.
Alors vas-y, montre-nous ce que tu peux faire avec la covariance, et on verra ce que ça donne ;) M'est avis que les valeurs de x et y vont jouer un rôle dans tout ça...


M.

Superbatto
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Petit soucis de comparaison de variables aléatoires continue

par Superbatto » 13 Sep 2010, 11:41

Bonjour à tous,

Je rebondis sur ce sujet pour vous présenter mon interrogation du moment :

Je souhaite également comparer deux variables aléatoires : X, qui est exponentielle de paramètre lambda, et Y qui est continue de loi inconnue.

J'ai lu sur Internet que P(X<Y) = E(exp(-lambda*Y)). Et je cherche à comprendre comment arriver à ce résultat.. Ca doit pas être bien compliqué, mais je n'y arrive pas, mes cours de probas sont un peu trop loin derrière moi :hum:

Je reprends la réponse de MathMoiCa :

MathMoiCa a écrit:Salut,
Conditionne par rapport à la valeur que prend une des va. Sinon, prends la densité du couple et écris l'intégrale de la région.
M.


Je ne peux pas connaître la densité du couple vu que Y est de loi non spécifiée. Il me reste donc la première solution.

J'aimerais écrire que :

P( X < Y ) = intégrale sur R par rapport à y de : P( X < y | Y = y ) * P( Y = y)

Mais je crois bien que ca n'a pas de sens, étant donné que la probabilité qu'une variable aléatoire continue soit égale à un réel, est, si mes souvenirs sont bons, logiquement nulle (on n'est pas en discret)... :hein:

Pourriez-vous m'aider à y voir un peu plus clair ? :help:

Superbatto

informix
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par informix » 13 Sep 2010, 16:00

Ah ben voilà, c'est tout de suite mieux !!!
Oui, si F est une fonction linéaire en sa deuxième variable, et que cette deuxième variable est effectivement une v.a. gaussienne, X et Y suivent une loi normale. Ce que je veux dire, c'est que X et Y sont des gaussiennes si F(x,w)=f(x)+aw, avec w gaussienne.
Mais ce n'est pas du tout le TCL qui nous permet de dire ça !
Avant d'essayer de résoudre un problème, il faut que tu sois capable de formuler correctement l'énoncé, capable d'appliquer les théorèmes fondamentaux, comme le TCL. Et en voyant ce que tu as posté sur l'autre forum, je vois aussi que tu prends les autres pour des ignares, à leur expliquer les imbrications grâce au TCL et tout et tout, alors que je te le dis et répète, comme l'ont fait d'autres, le TCL n'a rien à voir ici. Le TCL permet de déterminer une limite en loi de v.a. alors qu'ici tu t'intéresses à la loi des v.a. .


J'ai l'impression que ce qui t'a déçu le plus ce n'est pas le fait que j'ai mal formulé ma question ou mon énoncé, mais plutôt c'est que j'ai eu recours à d'autres forums pour la même question :)

Ce problème est encore à l'état "embryon" dans ma tête. Je ne l'ai pas piqué d'un livre comme la plupart des sujets postés sur le forum. Donc, pour moi, qu'il soit pas très précis ou mal formulé n'est vraiment grave et ne met rien en cause en moi :)

Pour le TCL, je n'ai jamais prétendu que :

Ce que je veux dire, c'est que X et Y sont des gaussiennes si F(x,w)=f(x)+aw, avec w gaussienne.
Mais ce n'est pas du tout le TCL qui nous permet de dire ça !


Merci pour l'aide; c'est bien d'être inscrit dans plusieurs forums :)

 

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