Bonjour tout le monde. Je suis bloqué sur un exercice et je veux votre aide. Il s'agit de:
X et Y sont deux variables alatoires indépendantes de loi de Cauchy. La loi de Cauchy est la loi sur R de densité f définie par f(x) = (1/(;)(1+x²))).
a) Soit Z = XY , U = X. Calculer la densité du couple (Z,U).
b) Deduire la densité de la variable aléatoire Z.
c) Deduire la densité de la variable aléatoire T = ln|X| + ln|Y|.
d) Deduire la valeur de l'intégrale ;)_{-;)}^{+;)}(t/(exp(t) - exp(-t)))dt .
Probabilité: Variables aléatoires continues
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par adrien69 » 10 Sep 2013, 21:14
Je t'avais déjà fait la remarque de façon sous-entendue ici mais il semblerait que ça ne soit pas suffisant. Donc je vais y aller franco même si je ne suis pas un modérateur :
Nous ne sommes pas des chiens à qui l'on donne des exos en pâtures et qu'on caresse une fois qu'on est "satisfait".
Nous ne sommes pas des chiens à qui l'on donne des exos en pâtures et qu'on caresse une fois qu'on est "satisfait".
par Gildo » 11 Sep 2013, 10:59
adrien69 a écrit:Je t'avais déjà fait la remarque de façon sous-entendue ici mais il semblerait que ça ne soit pas suffisant. Donc je vais y aller franco même si je ne suis pas un modérateur :
Nous ne sommes pas des chiens à qui l'on donne des exos en pâtures et qu'on caresse une fois qu'on est "satisfait".
Bonjour Adrien69. Excusez moi de présenter directement mes exercices de cette façon. Je viens déjà de modifier. Moi, j'avais la prétention que sur un forum il faut directement poser son problème pour ne pas faire perdre de temps aux lecteurs. Merci pour la leçon. Je ne l'ai pas comprise au premier coup car, pour moi, on dit directement aux autres ce qu'on n'apprécie pas chez eux. Bien à toi.
par adrien69 » 11 Sep 2013, 12:09
C'est juste que rajouter une phrase ce n'est ni vraiment perdre du temps, ni vraiment en faire perdre. Allez pour ce qui est de cet exercice, on va tout simplement exhiber la densité brutalement : en utilisant cette caractérisation de la densité (où pour nous A sera un pavé élémentaire -l'ensemble des pavés élémentaires étant une base d'ouverts boréliens on aura le résultat).
Je vais faire le cas simple où mon pavé est dans le quart de plan d'abscisses et d'ordonnées strictement positives. Soient donc a,b,c,d > 0
 \in \]a,b\[\times\]c,d\[)&= \mathbb{P}((XY \in \]a,b\[ )\cap(X\in\]c,d\[)) \\ &= \mathbb{P}((Y \in \]\frac a d , \frac b c \[) \cap ( X \in \]c,d\[)) \\ &= \mathbb{P}(Y \in \]\frac a d , \frac b c \[)\cdot \mathbb{P}( X \in \]c,d\[) \\ &= \frac 1 {\pi^2} \int_{\frac a d}^{\frac b c} \int_c^d \frac {dt \cdot dx}{(1+t^2)(1+x^2)} \end{align*})
Et avec le changement de variable + b \cdot \left(t- \frac a d \right) \right))
on obtient la densité de probabilité dans l'espace du plan dont j'ai parlé.
Je te laisse faire le reste. À la suite de quoi on traitera le b) si tu veux.
Je vais faire le cas simple où mon pavé est dans le quart de plan d'abscisses et d'ordonnées strictement positives. Soient donc a,b,c,d > 0
Et avec le changement de variable
Je te laisse faire le reste. À la suite de quoi on traitera le b) si tu veux.
par adrien69 » 11 Sep 2013, 12:16
Un autre méthode, peut-être plus intelligente c'est de regarder la fonction de répartition du couple (Z,U), mais on en parlera après.
par Gildo » 11 Sep 2013, 12:31
adrien69 a écrit:Un autre méthode, peut-être plus intelligente c'est de regarder la fonction de répartition du couple (Z,U), mais on en parlera après.
Merci. D'accord, je lirai la première pour voir mon niveau de compréhension.
par Gildo » 13 Sep 2013, 17:33
Bonsoir Adrien69. J'ai lu, j'ai essayé de calculer l'intégrale en utilisant le changement de variable, mais en vain. Peut-on separer la fonction et passer par arctangente? Je souhaiterais avoir si possible un PDF sur cette façon de faire un changement de variable. Toutes les autres questions decoulent de la première, une comprehension claire de la resolution de la première question me suffirait. Merci.
par adrien69 » 15 Sep 2013, 20:27
Tu penses ? J'ai fait ça de tête, je n'ai rien é écrit sur le papier. Je vérifie et je te dis si on trouve pareil.
par Gildo » 17 Sep 2013, 10:54
Bonjour à tous. Mr_pyer et adrien69, merci pour vos contributions. j'ai pas pu calculer l'intégrale qu'à trouver Mr_pyer. Un coup de main finale me sera utile.
par mr_pyer » 17 Sep 2013, 22:01
Gildo a écrit:Bonjour à tous. Mr_pyer et adrien69, merci pour vos contributions. j'ai pas pu calculer l'intégrale qu'à trouver Mr_pyer. Un coup de main finale me sera utile.
Le but n'est pas de calculer l'intégrale
par Gildo » 20 Sep 2013, 08:53
mr_pyer a écrit:Le but n'est pas de calculer l'intégralemais de juste lire la densité de
qui est donc
.
Ohhhh!!!, je vois Mr_pyer. Merci à vous de m'éclairer.
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