Comparaison de deux suites

[Sylvain200]

Bonsoir,

J'ai les suites suivantes définies par:

et .

Supposons que . A-t-on ?

Cordialement,
Sylvain.

[lyceen95]

Si , ça s'engage mal.
Reste à regarder ce qui se passe quand

[Sylvain200]

D'accord. On peut montrer que .

De cette inégalité, on peut montrer aussi que :



Est-ce-qu'on peut déduire que les suites et sont convergentes?

L’inégalité ci-dessus donne que , par exemple, est croissante (si et majorée .

Bien sûr si , aucun probléme, puisque l'inégalité ci-dessus sera vraie pour tout

Mais si on a , est ce que ça va influer sur la convergence des suites?

[lyceen95]

La formule est symétrique : dans le calcul de , les nombres et jouent le même rôle.
Et pareil dans la formule de

Donc, si on commence par exemple par et , ou bien par et , le premier terme est différent, mais tous les autres termes des 2 suites sont strictement les mêmes.

Dès que n>0,

Est-ce qu'on peut en déduire que les suites et sont convergentes ?
Non, ça ne suffit pas.
Imagine les suites : et
Elles vérifient bien la série d'inégalités que tu donnes, mais...

[catamat]

on peut montrer aussi que :



Est-ce-qu'on peut déduire que les suites et sont convergentes?

Bonjour
La suite est croissante et majorée par donc elle est convergente

De même est décroissante et minorée par donc elle est convergente

Par contre elles s'ont pas nécessairement la même limite comme dans l'exemple de Lycéen95.

[Sylvain200]

J'ai pas bien saisi vos réponses. A-t-on la convergence des suites peu n'importe ou ?

@catamat, je ne suis pas d'accord avec vous, si on a la convergence, alors on a l'égalité de deux limites.

[catamat]

Voir l'exemple donné par Lycéen95 l'une croissante a pour limite 5 l'autre décroissante a pour limite 6

[Sylvain200]

Pour les suites que j'ai donné, ce n'est pas le cas.

Si elles convergent, nécessairement elles ont la

même limite.

[mathelot]

Pour les suites que j'ai données, ce n'est pas le cas.

Si elles convergent, nécessairement elles ont la

même limite.

oui,les deux suites sont adjacentes. Les limites l de an et l' de bn vérifient l'égalité l(l-l')=0
l étant non nulle,l=l'

[lyceen95]

Il y a eu un quiproquo.
Dire que 2 suites sont convergentes, ça ne veut pas forcément dire qu'elles ont la même limite. Suites convergentes, ou suites adjacentes, ce n'est pas pareil.
Donc mon contre-exemple était hors-sujet.

Ici, tu affirmes que ces 2 suites ont la même limite. Ok. Mais affirmer quelque chose, ça ne sert à rien. Il faut le prouver.

[mathelot]

Soit l la limite de (a_n) et l' la limite de (b_n)

On passe à la limite dans l'égalité,il vient:
l=2ll'/(l+l')
Soit
l^2+ll'=2ll'
l(l-l')=0
l=l' car l>0

[Sylvain200]

On a , donc et par suite si les deux suites convergent, elles ont la même limite.

[Sylvain200]

Ma question est la suivante: les suites (a_n) et (b_n) sont-elles convergentes? peu n'importe ou

ou faut-il imposer la condition pour assurer la convergence?

[catamat]

On t'a déjà répondu à cette question :

La formule est symétrique : dans le calcul de , les nombres et jouent le même rôle.
Et pareil dans la formule de

Donc, si on commence par exemple par et , ou bien par et , le premier terme est différent, mais tous les autres termes des 2 suites sont strictement les mêmes.

[mathelot]

La limite commune des deux suites est strictement positive car la suite an est croissante à partir du rang 1 et son terme a1 est strictement positif.

[Sylvain200]

J'ai pas bien saisi l'argument utilisé.

Si a_0 >b_0, quel est l'argument utilisé pour montrer la convergence des suites ? car dans ce cas, je pense que la suite, par exemple,( a_n) n'est pas croissante.
Me trompe-je ?

[mathelot]

pour

i) suites strictement positives
et
Par récurrence immédiate : pour et

ii) comparaison des suites:
pour
Pour
iii) (a_n) croissante
pour pour
pour

iv) suite (b_n) décroissante
pour
pour

v)
preuve:


vi) suites convergentes
la suite (a_n) est croissante, majorée, à valeurs réelles.Elle converge vers une limite notée l.
la suite (b_n) est décroissante, minorée, à valeurs réelles.Elle converge vers une limite notée l'.

vii) Egalité des limites

en passant à la limite , quand n tend vers



comme
d'où

Les deux suites sont adjacentes.

remarque:

[Sylvain200]

@mathelot, merci beaucoup pour votre réponse.