Comment démontrer l'existence d'un polynome???

par **Anonyme** » 15 Fév 2006, 20:58

bonsoir à tous.
on me demande de montrer l'existence et l'UNICITé d'une suite de polynomes
{Bn(x), pour tout entier naturel} tels que deg(Bn)=0 et verifiant les identités suivantes:
i) Bo(x)=1.
ii)d(Bn(x))/dx=n*B(n-1)(x) pour tout n>=1.
iii) integral de 0 à 1 de Bn(x)dx est nul pour n>=1.

j'ai essayé la récurrence mais j'ai bloqué en voulant passé au rang n+1.

2) Montrer que Bn(1-x)=((-1)^n)*Bn(x).

merci beaucoup.

par **abcd22** » 15 Fév 2006, 21:08

Ce n'est pas plutôt deg(Bn) = n ?
Je pense que la récurrence est la bonne méthode, car

... On peut aussi justifier l'unicité par récurrence car il y a une infinité de primitives de

mais une seule qui vérifie la condition pour l'intégrale.

par **yos** » 15 Fév 2006, 21:08

Bonsoir.
Ca se construit par récurrence. Connaissant Bn, la première condition te donne Bn+1 à une constante près et la seconde condition te donne la constante. Ainsi l'existence et l'unicité sont évidentes. Pour t'en convaincre, calcule B1,B2, B3, B4.
Pour la seconde question (-1)^nBn(1-x) est une suite de polynôme. Montre qu'elle vérifie les mêmes conditions que la suite Bn et tu pourras identifier par unicité de cette suite.

par **Anonyme** » 16 Fév 2006, 13:35

merci bien les amis pour vos réponse.
pour établir la relation Bn(1-x)=((-1)^n)*Bn(x) j'ai suivis le conseil de YOS. en fait , ((-1)^n)*Bn(1-x) verifie la 1ere relation et la 3eme relation sur l'integrale,quant à la deuxieme relation sur la dérivée , j'en suis pas sûr, en fait j'ai posé Cn(x)=((-1)^n)*Bn(1-x). et je dois montrer que

d(Cn(x))/dx=nC(n-1)(x).
or d(Cn(x))/dx=d((-1)^n)*Bn(1-x))/dx=-((-1)^n)*B'n(1-x).
puisque B'n(x)=nB(n-1)(x) pour tout x, on a: B'n(1-x)=nB(n-1)(1-x).
donc d(Cn(x))/dx=((-1)^(n-1))*n*B(n-1)(1-x)=nC(n-1)(x).d'oû le résultat.

qu'en pensez vous???

j'ai une autre question:
je dois montrer l'EXISTENCE d'une suite de constantes bn telles que pour tout n de N on ait l'indentité Bn(x)=sigma(k=0..n)C(k,n)bk*x(n-k). oû C(k,n) designe le nombre de combinaison k parmi n.

pour répondre à cette question j'ai encore utilisé la récurrence.
c'est vérifié pour n=0, car ,dans ce cas, bo=1.j'ai supposé ensuite qu'il existe une suite b1,b2,......bn de constantes et je dois montrer l'existence de b(n+1)
vérifiant B(n+1). mais j'ai du mal à passet au rang n+1.

une derniere question plutôt calculatoire, il faut etablir l'identité ( en utilisant la formule de Taylor pour les polynomes!!):
Bn(x+y)=sigma(k=0..n)C(k,n)Bk(x)*y^(n-k).
en fait j'ai démontré dans une question que bn=Bn(0).
dans la derniere question j'ai du mal à manipuler les sigmas et mener à bien le calcul.
pouvez vous m'aider??merci infiniment.

par **yos** » 16 Fév 2006, 13:52

malibu a écrit:merci bien les amis pour vos réponse.
pour établir la relation Bn(1-x)=((-1)^n)*Bn(x) j'ai suivis le conseil de YOS. en fait , ((-1)^n)*Bn(1-x) verifie la 1ere relation et la 3eme relation sur l'integrale,quant à la deuxieme relation sur la dérivée , j'en suis pas sûr, en fait j'ai posé Cn(x)=((-1)^n)*Bn(1-x). et je dois montrer que

d(Cn(x))/dx=nC(n-1)(x).
or d(Cn(x))/dx=d((-1)^n)*Bn(1-x))/dx=-((-1)^n)*B'n(1-x).
puisque B'n(x)=nB(n-1)(x) pour tout x, on a: B'n(1-x)=nB(n-1)(1-x).
donc d(Cn(x))/dx=((-1)^(n-1))*n*B(n-1)(1-x)=nC(n-1)(x).d'oû le résultat.

qu'en pensez vous???

C'est bien.

Pour la suite : s'il n'y a pas de contrainte sur les bk, (ce qui me semble douteux), le résultat est immédiat : tu écris ton polynôme

et tu poses

.
Peux-tu vérifier?

par **yos** » 16 Fév 2006, 13:53

Non c'est moi qui déconne : mon bk dépend de n (apparemment en tout cas : il faudrait montrer que c'est pas le cas).

par **yos** » 16 Fév 2006, 14:11

Ca va bien par récurrence :

,
et

.

.
Ensuite tu utilise l'égalité

par **Anonyme** » 16 Fév 2006, 14:14

est-ce qu'on ne peut pas utiliser la récurrence??, apparemment la récurrence est efficace quand on a affaire à des questions d'EXISTENCE.
en fait ça marche pour le rang n=0 car on peut poser bo=1=Bo(x).
si on utilise une récurrence forte en supposant qu'il existe b1,b2,...bn, constantes on doit montrere qu'il existe b(n+1) verifiant la relation:
B(n+1)(x)=sigma(k=0..n)C(k,n)bk*x^(n+1-k).
or sigma(k=0..n+1)C(k,n+1)bk*x^(n+1-k)=sigma(k=0..n)C(k,n+1)bk*x^(n+1-k)+b(n+1).
donc B(n+1)(x)=sigma(k=0..n)C(k,n+1)bk*x^(n+1-k)+b(n+1).
or B(n+1)(x) existe et sigma(k=0..n)C(k,n+1)bk*x^(n+1-k) existe egalement d'apres l'hypothèse de récurrence; on en déduit que b(n+1) existe.
récurrence achevée. qu'en pensez vous? car j'en suis un peu douteux!!

merci

par **yos** » 16 Fév 2006, 14:20

Je crois que t'as pas eu le temps de voir ma réponse précédente.
Fais attention, car les coef bk sont les mêmes pour tous les polynômes (ce ne sont pas des

). J'ai fais la même erreur plus haut.

par **Anonyme** » 16 Fév 2006, 14:35

donc tu as utilisé une récurrence forte, pour déduire à la fin que
b(n+1)=B(n+1)(0).mais ce qui me gêne c'est que dans la question suivante on me demande de trouver la relation entre bn et Bn(0) alors que j'ai l'impression que j'ai déjà répondu à cette question ( car pour montrer l'existence de bn , à un moment donné on a posé b(n+1)=B(n+1)(0))!!!!

en tout cas , qu'en pensez vous pour ma derniere question ( sur la formule de taylor)??

merci YOS

par **yos** » 16 Fév 2006, 16:47

Pour la dernière question, il n'y a pas de long calcul. Ecrit la formule de Taylor : tu auras dans le sigma des termes qui s'écrivent

. La dérivée k-ième de Bn vaut

Tu verras apparaître un

et il te faudra renuméroter les termes en posant k'=n-k dans la somme.

par **Anonyme** » 17 Fév 2006, 22:35

merci bien yos,
est ce que vous pouvez détailler un peu le calcul que vous avez fait pour calculer la dérivée k-ieme de Bn(x)?? car j'ai beau essayé , j'ai rien trouvé!!
j'ai besoin de votre aide

par **mathador** » 17 Fév 2006, 23:03

Une petite récurrence ne pose pas de problème ! pas d'alerte, Malibu :zen: (je m'excuse auprès des membres du forum ... :briques: )

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